Monomiale Kurve/Hilbert-Samuel Multiplizität ist numerische Multiplizität/Fakt/Beweis

Beweis

Der Restklassenring

$K[M]/{𝔪}^n=K[M]/(n{M}_{+})$

hat die Elemente aus $M\setminus n{M}_{+}$ als $K$-Basis. Deren Anzahl ist also die Dimension davon. Aufgrund der in Fakt bewiesenen Abschätzungen konvergiert der Ausdruck $\frac{\mathrm{\#}(M\setminus n{M}_{+})}{n}$ für $n\mapsto \mathrm{\infty }$ gegen $e_1$. Daher gilt diese Konvergenz auch für die Dimensionen.

Zur bewiesenen Aussage