Monomiale Kurvenabbildung/Monoidhomomorphismus/Bemerkung

Eine monomiale Abbildung ${}t\mapsto (t_{1}^{e_{1}},\ldots ,t_{n}^{e_{n}})$ ist nichts anderes als die zum Monoidhomomorphismus ${}\mathbb {N} ^{n}\rightarrow \mathbb {N}$, der den ${}i$-ten Basisvektor auf ${}e_{i}$ schickt, im Sinne von Bemerkung gehörende Abbildung der zugehörigen ${}K$-Spektren. Diese Monoidabbildung faktorisiert

$\mathbb {N} ^{n}\longrightarrow M\longrightarrow \mathbb {N} ,$

wobei ${}M$ das von den ${}e_{i}$ erzeugte Untermonoid der natürlichen Zahlen ist. Ein solches Untermonoid heißt numerisches Monoid. Die erste Abbildung ist dabei eine Surjektion. Es liegen also insgesamt Ringhomomorphismen

$K[\mathbb {N} ^{n}]=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K[M]\longrightarrow K[\mathbb {N} ]=K[T]$

und geometrisch die Spektrumsabbildungen

${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$

vor. Das Bild der affinen Geraden liegt also im ${}K$-Spektrum des Monoidringes ${}K[M]$. Wir werden in Fakt sehen, dass die Abbildung ${}{\mathbb {A} }_{K}^{1}\rightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}$ stets surjektiv ist und im Fall, dass die Exponenten ${}e_{i}$ teilerfremd sind, auch injektiv.