Es sei
eine obere Schranke, also
für alle Folgenglieder
. Wir nehmen an, dass
keine Cauchy-Folge ist, und verwenden die Charakterisierung aus
Fakt.
Somit gibt es ein
derart, dass es für jedes
ein
gibt mit
(wir können die Betragstriche weglassen).
Wir können daher induktiv eine wachsende Folge von natürlichen Zahlen definieren durch
-
-
-
etc. Andererseits gibt es aufgrund des
Archimedesaxioms
ein
mit
-
Die Summe der ersten
Differenzen der
Teilfolge
,
,
ergibt

Dies impliziert

im Widerspruch zur Voraussetzung, dass

eine obere Schranke der Folge ist.