Monoton wachsende Folge/Oben beschränkt/Cauchy/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}b\in K$ eine obere Schranke, also ${}x_{n}\leq b$ für alle Folgenglieder ${}x_{n}$.  Wir nehmen an, dass ${}\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ keine Cauchy-Folge ist, und verwenden die Charakterisierung aus Fakt. Somit gibt es ein ${}\epsilon >0$ derart, dass es für jedes ${}n_{0}$ ein ${}m>n_{0}$ gibt mit ${}x_{m}-x_{n_{0}}\geq \epsilon$ (wir können die Betragstriche weglassen). Wir können daher induktiv eine wachsende Folge von natürlichen Zahlen definieren durch

$n_{0}=0,$

$n_{1}>n_{0}{\text{ so, dass }}x_{n_{1}}-x_{n_{0}}\geq \epsilon ,$

$n_{2}>n_{1}{\text{ so, dass }}x_{n_{2}}-x_{n_{1}}\geq \epsilon ,$

etc. Andererseits gibt es aufgrund des Archimedesaxioms ein ${}k\in \mathbb {N}$ mit

$k\epsilon >b-x_{0}.$

Die Summe der ersten ${}k$ Differenzen der Teilfolge ${}x_{n_{j}}$, ${}j\in \mathbb {N}$, ergibt

${}{\begin{aligned}x_{n_{k}}-x_{0}&=(x_{n_{k}}-x_{n_{k-1}})+(x_{n_{k-1}}-x_{n_{k-2}})+\cdots +(x_{n_{2}}-x_{n_{1}})+(x_{n_{1}}-x_{n_{0}})\\&\geq k\epsilon \\&>b-x_{0}.\end{aligned}}$

  Dies impliziert ${}x_{n_{k}}>b$ im Widerspruch zur Voraussetzung, dass ${}b$ eine obere Schranke der Folge ist.

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