Multiplikatives System/Primelemente/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein kommutativer Ring. Eine Teilmenge heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften

  1. ,
  2. Wenn , dann ist auch ,

gelten.

Es handelt sich also einfach um ein Untermonoid des multiplikativen Monoids eines Ringes. Wir erwähnen einige Beispiele von multiplikativen Systemen. Zunächst ist natürlich der Gesamtring, die Menge , die Menge und die Einheitengruppe ein multiplikatives System. Darüber hinaus erwähnen wir die folgenden Beispiele.


Beispiel  

Es sei ein kommutativer Ring und ein Element. Dann bilden die Potenzen , , ein multiplikatives System.



Beispiel  

Sei ein Integritätsbereich. Dann bilden alle von verschiedenen Elemente in ein multiplikatives System, das mit bezeichnet wird.



Beispiel  

Die Nichtnullteiler bilden ein multiplikatives System in einem kommutativen Ring. Die ist wie jede Einheit ein Nichtnullteiler, und wenn und Nichtnullteiler sind, so ist auch deren Produkt ein Nichtnullteiler, da aus zunächst und daraus folgt.



Beispiel  

Es sei ein faktorieller Bereich und sei eine Menge von Primelementen. Dann ist die Menge aller Elemente aus , in deren Primfaktorzerlegung ausschließlich Primelemente aus vorkommen, ein multiplikatives System . Es ist also



Beispiel  

Sei ein kommutativer Ring und ein Primideal. Dann ist das Komplement ein multiplikatives System. Dies folgt unmittelbar aus der Definition.