Natürliche Zahlen/Differenz/Produkt/Aufgabe/Lösung

1. Wegen

   $a\ge b$

   ist nach Fakt  (3)

   $a(c-d)\ge b(c-d).$

   Aufgrund des Distributivgesetzes für die Differenz bedeutet dies

   $ac-da\ge bc-bd.$

   Addition von $ad+bd$ ergibt unter Bezug auf Fakt  (1)

   $(ac-da)+ad+bd\ge (bc-bd)+ad+bd,$

   also

   $ac+bd\ge bc+ad.$

2. Aufgrund des Distributivgesetzes für die Differenz ist

   $(a-b)(c-d)=a(c-d)-b(c-d)=(ac-ad)-b(c-d).$

   Wir wollen zeigen, dass dies mit

   $ac+bd-(bc+ad)$

   übereinstimmt. Dazu genügt es zu zeigen, dass die beiden Terme gleich sind, wenn man zu ihnen jeweils

   $b(c-d)+ad$

   hinzuaddiert. Dies ergibt einerseits

   $\begin{array}{cc}((ac-ad)-b(c-d))+b(c-d)+ad& =(ac-ad)+ad\\ & =ac\end{array}$

   und andererseits nach Fakt  (2) und nach Fakt  (1)

   $\begin{array}{cc}(ac+bd-(bc+ad))+b(c-d)+ad& =(ac+bd-(bc+ad))+(bc-bd)+ad\\ & =(ac+bd-(bc+ad))+((bc+ad)-bd)\\ & =(ac+bd+(bc+ad-bd))-(bc+ad)\\ & =(ac+bc+ad)-(bc+ad)\\ & =ac,\end{array}$

   also das gleiche.

Zur gelösten Aufgabe