Natürliche Zahlen/Differenz/Produkt/Aufgabe/Lösung

1. Wegen

   ${}a\geq b\,$

   ist nach Fakt  (3)

   ${}a(c-d)\geq b(c-d)\,.$

   Aufgrund des Distributivgesetzes für die Differenz bedeutet dies

   ${}ac-da\geq bc-bd\,.$

   Addition von ${}ad+bd$ ergibt unter Bezug auf Fakt  (1)

   ${}(ac-da)+ad+bd\geq (bc-bd)+ad+bd\,,$

   also

   ${}ac+bd\geq bc+ad\,.$

2. Aufgrund des Distributivgesetzes für die Differenz ist

   ${}(a-b)(c-d)=a(c-d)-b(c-d)=(ac-ad)-b(c-d)\,.$

   Wir wollen zeigen, dass dies mit

   $ac+bd-(bc+ad)$

   übereinstimmt. Dazu genügt es zu zeigen, dass die beiden Terme gleich sind, wenn man zu ihnen jeweils

   $b(c-d)+ad$

   hinzuaddiert. Dies ergibt einerseits

   ${}{\begin{aligned}((ac-ad)-b(c-d))+b(c-d)+ad&=(ac-ad)+ad\\&=ac\end{aligned}}$

   und andererseits nach Fakt  (2) und nach Fakt  (1)

   ${}{\begin{aligned}(ac+bd-(bc+ad))+b(c-d)+ad&=(ac+bd-(bc+ad))+(bc-bd)+ad\\&=(ac+bd-(bc+ad))+((bc+ad)-bd)\\&=(ac+bd+(bc+ad-bd))-(bc+ad)\\&=(ac+bc+ad)-(bc+ad)\\&=ac,\end{aligned}}$

   also das gleiche.

Zur gelösten Aufgabe