Natürliche Zahlen/Eigenschaften der Multiplikation/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}(\mathbb {N} ,0,')$ ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen mit der in Definition festgelegten Multiplikation. Zeige die folgenden Aussagen.

1. ${}0\cdot n=0=n\cdot 0\,$

   für alle ${}n$.

2. ${}1\cdot n=n=n\cdot 1\,$

   für alle ${}n$, d.h.  ${}1=0'$  ist das neutrale Element für die Multiplikation.

3. ${}k'\cdot n=k\cdot n+n\,$

   für alle  ${}n,k\in \mathbb {N}$. 

4. Die Multiplikation ist kommutativ.
5. Die Multiplikation ist assoziativ.
6. Aus einer Gleichung  ${}n\cdot k=m\cdot k$  mit  ${}k\neq 0$  folgt  ${}n=m$  (Kürzungsregel).
7. Für beliebige  ${}k,m,n\in \mathbb {N}$  gilt

   ${}k\cdot (m+n)=k\cdot m+k\cdot n\,$

   (Distributivgesetz).

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