Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition und disjunkte Vereinigung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Voraussetzung besagt, dass es eine bijektive Abbildung

$\psi :\{1,\dots ,m\}⟶M$

und eine bijektive Abbildung

$\phi :\{1,\dots ,n\}⟶N$

gibt. Die Abbildung

$\{1,\dots ,n\}⟶\{m+1,\dots ,m+n\},i⟼m+i,$

ist nach Aufgabe bijektiv, es sei $\theta$ die Umkehrabbildung. Somit ist nach Fakt  (3)

$\phi \circ \theta :\{m+1,\dots ,m+n\}⟶N$

ebenfalls bijektiv. Wir definieren nun eine Abbildung

$F:\{1,\dots ,m+n\}⟶M\cup N$

durch

$F(k)=\{\begin{array}{c}\psi (k),\text{ falls }k\in \{1,\dots ,m\},\\ \phi (\theta (k)),\text{ falls }k\in \{m+1,\dots ,m+n\}.\end{array}$

Diese Abbildung ist surjektiv, da jedes Element aus $M$ durch den ersten Fall und jedes Element aus $N$ durch den zweiten Fall abgedeckt ist. Die Injektivität sieht man so. Wenn

$k\ne \ell$

gegeben sind, und das eine Element zu $\{1,\dots ,m\}$ und das andere zu $\{m+1,\dots ,m+n\}$ gehört, so ist  $F(k)\in M$  und  $F(\ell )\in N$  (oder umgekehrt) und sie sind verschieden wegen der Disjunktheit von $M$ und $N$. Wenn hingegen $k$ und $\ell$ aus der gleichen Teilmenge des Definitionsbereiches kommen, so ergibt sich die Verschiedenheit von $F(k)$ und $F(\ell )$ aus der Injektivität von $\psi$ bzw. von $\phi \circ \theta$. Insgesamt erhalten wir also eine bijektive Abbildung

$\{1,\dots ,m+n\}⟶M\cup N,$

sodass die Anzahl von $M\cup N$ gleich $m+n$ ist.

Zur gelösten Aufgabe