Natürliche Zahlen/Zählen/Nachfolgerabbildung/Isomorphie/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

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Da die Abbildung insbesondere die Null respektieren soll, muss

sein. Da die Abbildung die Nachfolgerabbildungen respektieren soll, gilt generell

für alle . Speziell gilt

Aus dem gleichen Grund muss unter Verwendung des schon Bewiesenen

Ebenso muss

u.s.w gelten. Hier hat man keine Wahlmöglichkeiten, alles ist durch die Nachfolgereigenschaft bestimmt. Da jedes Element aus von aus durch die Nachfolgerabbildung schließlich und genau einmal erreicht wird, ist dies eine wohldefinierte Abbildung von nach .

Zum Nachweis der Surjektivität betrachten wir die Menge

Wir müssen zeigen, dass

ist. Dazu wenden wir das Induktionsaxiom für an. Wegen

gehört . Wenn ist, so ist also

für ein . Wegen der Verträglichkeit mit der Nachfolgerabbildung ist

d.h. auch . Daher ist unter dem Nachfolger abgeschlossen und nach dem Induktionsaxiom ist also . Zum Nachweis der Injektivität seien verschieden. und zwar sei ein (direkter oder) höherer Nachfolger von . Dann ist der entsprechende Nachfolger von und insbesondere davon verschieden (siehe Aufgabe),

da das Nachfolgernehmen in injektiv ist.
Zur gelösten Aufgabe