Nebenklassen/Additiver Fall/Z und Vektorraum/Beispiel

In einer (additiv geschriebenen) kommutativen Gruppe wie $\mathbb{Z}$ oder einem Vektorraum $V$ und einer Untergruppe $H$ bedeutet  $x{\sim }_{H}y$,  dass  $y-x\in H$  ist bzw. dass es ein  $h\in H$  mit

$y=x+h$

gibt. Die Äquivalenzklassen sind von der Form  $x+H=\{x+h\mid h\in H\}$.  Bei  $H=\mathbb{Z}d\subseteq \mathbb{Z}$  mit einem festen $d$ besitzen die Äquivalenzklassen die Form

$H=\mathbb{Z}d,1+H=\{\dots ,1-d,1,1+d,1+2d,\dots \},2+H=\{\dots ,2-d,2,2+d,2+2d,\dots \},\dots .$

Die Klassen vereinigen diejenigen ganzen Zahlen, die bei Division durch $d$ den Rest $0$ oder $1$ oder $2$ usw. haben. Diese Klassen bilden eine vollständige Zerlegung von $\mathbb{Z}$.

Die Äquivalenzklassen zu einem Untervektorraum.

Wenn  $H=U\subseteq V$  ein Untervektorraum ist, so haben die Äquivalenzklassen die Form  $v+U=\{v+u\mid u\in U\}$  für einen Vektor  $v\in V$.  Dies ist der affine Raum mit dem Aufpunkt $v$ und dem Verschiebungsraum $U$ (im Sinne von Definition). Die Äquivalenzklassen bilden eine Familie von zueinander parallelen affinen Unterräumen.