Nebenklassen/Additiver Fall/Z und Vektorraum/Beispiel

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In einer (additiv geschriebenen) kommutativen Gruppe wie oder einem Vektorraum und einer Untergruppe bedeutet , dass ist bzw. dass es ein mit

gibt. Die Äquivalenzklassen sind von der Form . Bei mit einem festen besitzen die Äquivalenzklassen die Form

Die Klassen vereinigen diejenigen ganzen Zahlen, die bei Division durch den Rest oder oder u.s.w. haben. Diese Klassen bilden eine vollständige Zerlegung von .

Die Äquivalenzklassen zu einem Untervektorraum.

Wenn ein Untervektorraum ist, so haben die Äquivalenzklassen die Form für einen Vektor . Dies ist der affine Raum mit dem Aufpunkt und dem Verschiebungsraum (im Sinne von Definition). Die Äquivalenzklassen bilden eine Familie von zueinander parallelen affinen Unterräumen.