Neilsche Parabel/Holomorphe Funktion/Standardentfaltung/Beispiel

Zur Funktion ${}X^{2}-Y^{3}$ bilden ${}1,Y$ eine Basis von ${}{\mathcal {O}}/{\left(2X,3Y^{2}\right)}$. Die Standardentfaltung ist also

${\mathbb {C} }^{2}\times {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x,y,v,w)\longmapsto x^{2}-y^{3}+v+wy.$

Zu einem fixierten Parameterpaar ${}(v,w)$ besitzt die dadurch parametrisierte Funktion ${}f_{v,w}$ die partiellen Ableitungen ${}2x$ und ${}-3y^{2}+w$. Bei ${}w=0$ besitzt ${}f_{v,w}$ den einzigen singulären Punkt ${}(0,0)$ (der aber nur bei $v=0$ auf der Faser liegt), der ausgeartet ist (mit Milnorzahl ${}2$), bei ${}w\neq 0$ besitzt ${}f_{v,w}$ die beiden singulären Punkte ${}(0,{\sqrt {w/3)}}$ und ${}(0,-{\sqrt {w/3)}}$, die beide nicht ausgeartet sind. Die Anzahl der nichtausgearteten kritischen Punkte stimmt also mit der Milnorzahl der Ausgangshyperfläche überein.