Normale Körpererweiterung/C/Komplexe Konjugation/Aufgabe/Lösung

a) Die Verknüpfung ${}K{\stackrel {\iota }{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }{\stackrel {\kappa }{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }$ (${}\iota$ die Inklusion) ist ein ${}\mathbb {Q}$-Algebrahomomorphismus, daher ist das Bild dieser Abbildung nach Fakt gleich ${}K$.

b) Bei ${}K\subseteq \mathbb {R}$ ist natürlich ${}\kappa {|}_{K}=\operatorname {Id} _{K}$, da die komplexe Konjugation auf ${}\mathbb {R}$ die Identität ist und sich diese Eigenschaft auf eine Teilmenge überträgt. Wenn andererseits ${}K\not \subseteq \mathbb {R}$ ist, so gibt es

(wegen $K\subseteq {\mathbb {C} }$) ein ${}a+b{\mathrm {i} }\in K$ mit ${}b\neq 0$. Für dieses Element ist ${}\kappa (a+b{\mathrm {i} })=a-b{\mathrm {i} }\neq a+b{\mathrm {i} }$, so dass die komplexe Konjugation nicht die Identität auf ${}K$ ist.

Zur gelösten Aufgabe