Normaler noetherscher Bereich/Divisorenklassengruppe/Faktoriell/Fakt/Beweis

Beweis

Sei (1) erfüllt und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal der Höhe ${}1$. Es gibt ein Element ${}f\in {\mathfrak {p}}$, ${}f\neq 0$. Dieses hat eine Primfaktorzerlegung ${}f=p_{1}\cdots p_{n}$ und aufgrund der Primeigenschaft muss ${}p_{i}\in {\mathfrak {p}}$ für ein ${}i$ sein. Dann ist aber wegen der Höhenbedingung ${}(p_{i})={\mathfrak {p}}$. Sei nun jedes Primideal der Höhe ${}1$ Hauptideal. Dann gilt mit

${}{\mathfrak {p}}=(p)\,$

die Divisorbeziehung

${}\operatorname {div} {\left(p\right)}=1\cdot {\mathfrak {p}}\,,$

da ${}p$ in keinem anderen Primideal der Höhe ${}1$ enthalten ist und da ${}p$ auch in ${}R_{\mathfrak {p}}$ ein Erzeuger von ${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ ist. Somit sind die Gruppenerzeuger der Divisorenklassengruppe Hauptdivisoren und damit sind überhaupt alle Divisoren Hauptdivisoren. Die Äquivalenz von (3) und (4) ist klar. Es sei nun vorausgesetzt, dass jeder Divisor ein Hauptdivisor ist. Dann gibt es zu einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ der Höhe ${}1$ ein ${}f\in Q(R)$, ${}f\neq 0$, mit

${}\operatorname {div} {\left(f\right)}=1\cdot {\mathfrak {p}}\,.$

Wegen der Nichtnegativität des Hauptdivisors ist nach Fakt ${}f\in R$. Somit ist ${}f$ nur in ${}{\mathfrak {p}}$ als einzigem Primideal der Höhe ${}1$ enthalten. Sei ${}{\mathfrak {p}}=(g_{1},\ldots ,g_{n})$. Dann ist

${}\operatorname {div} {\left(g_{i}\right)}\geq \operatorname {div} {\left(f\right)}\,$

und somit ist ${}{\frac {g_{i}}{f}}\in R$, also ${}g_{i}\in (f)$ und damit ${}{\mathfrak {p}}=(f)$.

Sei schließlich (2) erfüllt, und ${}f\in R$, ${}f\neq 0$. Es seien ${}{\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{s}$ die minimalen Primoberideale von ${}f$. Nach dem Krullschen Hauptidealsatz besitzen diese alle die Höhe ${}1$. Sei ${}{\mathfrak {p}}_{i}=(p_{i})$ mit Primelementen ${}p_{1}$. Es ist

${}\operatorname {div} {\left(f\right)}=\sum _{i=1}^{s}n_{i}{\mathfrak {p}}_{i}\,.$

Das Element ${}\prod _{i=1}^{s}p_{i}^{n_{i}}$ besitzt den gleichen Hauptdivisor. Deshalb ist der Quotient ${}f/\prod _{i=1}^{s}p_{i}^{n_{i}}$ eine Einheit und

${}f=u\prod _{i=1}^{s}p_{i}^{n_{i}}\,$

mit einer Einheit ${}u$. Daher ist ${}R$ faktoriell.

Zur bewiesenen Aussage