Normales torisches Monoid/Rational-polyedrisch/Fakt

Lemma von Gordan

1. Es sei  ${}M\subseteq \mathbb {Z} ^{n}$  ein normales endlich erzeugtes Monoid und  ${}C=\mathbb {Q} _{\geq 0}M$  der zugehörige rationale Kegel. Dann ist  ${}M=\Gamma \cap C$,  wobei  ${}\Gamma \subseteq \mathbb {Z} ^{n}$  das Differenzengitter zu ${}M$ ist.
2. Wenn umgekehrt  ${}\Gamma \subseteq \mathbb {Q} ^{n}$  eine endlich erzeugte Untergruppe und  ${}C\subseteq \mathbb {Q} ^{n}$  ein endlich erzeugter rationaler Kegel ist, so ist der Durchschnitt  ${}M=\Gamma \cap C$  ein normales endlich erzeugtes Monoid.

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