Normiertes Polynom/R/Betragsmaximum auf -1 bis 1/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die normierten Tschebyschow-Polynome

${}Q_{n}={\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}\,,$

die normiert sind und deren Bild von ${}[-1,1]$ nach Fakt in ${}[-{\frac {1}{2^{n-1}}},{\frac {1}{2^{n-1}}}]$ liegt, wobei die Maxima bzw. Minima in den ${}n+1$ Punkten ${}\cos \left({\frac {k}{n}}\pi \right)$ mit ${}k=0,\ldots ,n$ abwechselnd angenommen werden. Nehmen wir an, es gebe ein normiertes Polynom ${}P(t)$, dessen Betrag auf ${}[-1,1]$ überall echt kleiner als ${}{\frac {1}{2^{n-1}}}$ ist. Wir betrachten das Differenzpolynom ${}D(t)=Q(t)-P(t)$. Dieses Polynom hat an den Stellen, wo ${}Q(t)$ den maximalen Wert ${}{\frac {1}{2^{n-1}}}$ annimmt, einen positiven Wert, und an den Stellen, wo ${}Q(t)$ den minimalen Wert ${}-{\frac {1}{2^{n-1}}}$ annimmt, einen negativen Wert. Da die Extrema von ${}Q$ sich abwechseln, besitzt ${}D$ zumindest ${}n$ Vorzeichenwechsel und somit nach dem Zwischenwertsatz zumindest ${}n$ Nullstellen. Da aber ${}D$ die Differenz von zwei normierten Polynomen vom Grad ${}n$ ist, besitzt ${}D$ höchstens den Grad ${}n-1$ und kann nach Fakt höchstens ${}n-1$ Nullstellen besitzen.

Zur bewiesenen Aussage