Nullstellenfreie Funktion/Diagonalmatrix/Umkehrbarkeit/Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine nullstellenfreie stetig differenzierbare Funktion und sei ${}g$ eine Stammfunktion zu ${}f$. Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

mit

${}\varphi (x,y)=\left({\frac {x}{f(y)}},\,g(y)\right)\,.$

a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${}\varphi$.

b) Zeige, dass man auf ${}\varphi$ in jedem Punkt den Satz über die lokale Umkehrbarkeit anwenden kann.

c) Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist.

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