Offene Menge/C/Einfach zusammenhängend/Logarithmus und Exponentialfunktion/Fakt

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine einfach zusammenhängende offene Menge mit ${}0\notin U$.

Dann gibt es eine holomorphe Funktion ${}L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit

1. Es ist

   ${}L'(z)={\frac {1}{z}}\,,$

   d.h. ${}L$ ist eine Stammfunktion zu ${}{\frac {1}{z}}$.

2. Es ist

   ${}\exp \left(L(z)\right)=z\,.$

3. Es ist

   ${}L(\exp z)=z\,$

   auf einer offenen nichtleeren Teilmenge von ${}\exp ^{-1}(U)$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen