Offene Menge/C/Einfach zusammenhängend/Logarithmus und Exponentialfunktion/Fakt/Beweis

Beweis

Auf $U$ ist die komplexe Invertierung $\frac{1}{z}$ definiert und besitzt dort nach Fakt eine Stammfunktion $L(z)$, die bis auf eine Konstante $c$ eindeutig bestimmt ist. Nach Fakt gilt

$\exp (L(z))=az$

mit  $a\ne 0$.  Es sei

$\exp c=a^{-1}.$

Dann besitzt  $\tilde{L}=L+c$  nach wie vor die Ableitungseigenschaft und es gilt

$\exp (\tilde{L}(z))=\exp (L(z)+c)=az\cdot a^{-1}=z.$

Wir bezeichnen das modifizierte $\tilde{L}$ wieder mit $L$. Es sei  $z_0\in U$  und  $w_0=L(z_0)$,  wegen der Eigenschaft (2) gilt

$\exp w_0=z_0.$

Somit gilt auch

$L(\exp \left(w_0\right))=L(z_0)=w_0.$

Es sei  $w_0\in V\subseteq {\exp }^{-1}(U)$  ein Gebiet, nach Fakt gilt darauf

$L(\exp w)=w+b$

für ein $b$ und wegen dem Punktepaar muss  $b=0$  sein.

Zur bewiesenen Aussage