Offene Menge/C/Einfach zusammenhängend/Logarithmus und Exponentialfunktion/Fakt/Beweis

Beweis

Auf ${}U$ ist die komplexe Invertierung ${}{\frac {1}{z}}$ definiert und besitzt dort nach Fakt eine Stammfunktion ${}L(z)$, die bis auf eine Konstante ${}c$ eindeutig bestimmt ist. Nach Fakt gilt

${}\exp \left(L(z)\right)=az\,$

mit ${}a\neq 0$. Es sei

${}\exp c=a^{-1}\,.$

Dann besitzt ${}{\tilde {L}}=L+c$ nach wie vor die Ableitungseigenschaft und es gilt

${}\exp \left({\tilde {L}}(z)\right)=\exp \left(L(z)+c\right)=az\cdot a^{-1}=z\,.$

Wir bezeichnen das modifizierte ${}{\tilde {L}}$ wieder mit ${}L$. Es sei ${}z_{0}\in U$ und ${}w_{0}=L(z_{0})$, wegen der Eigenschaft (2) gilt

${}\exp w_{0}=z_{0}\,.$

Somit gilt auch

${}L(\exp \left(w_{0}\right))=L(z_{0})=w_{0}\,.$

Es sei ${}w_{0}\in V\subseteq \exp ^{-1}(U)$ ein Gebiet, nach Fakt gilt darauf

${}L(\exp w)=w+b\,$

für ein ${}b$ und wegen dem Punktepaar muss ${}b=0$ sein.

Zur bewiesenen Aussage