Offenes Intervall/Lineare Differentialgleichung/System/Linearer Zusammenhang/Aufgabe

Es sei ein homogenes lineares Differentialgleichungssystem

${}u'=Mu\,$

auf einem offenen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ mit

${}M(t)={\left(a_{kj}(t)\right)}_{kj}\,$

(dabei ist ${}k$ der Zeilenindex und ${}j$ der Spaltenindex) mit stetigen Funktionen

$a_{kj}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

gegeben. Diese Funktionen fassen wir über

${}\Gamma _{j}^{k}(t):=-a_{kj}\,$

als Christoffelsymbole (mit ${}i=1$) für den linearen Zusammenhang ${}\nabla$ auf dem trivialen Vektorbündel ${}p\colon I\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow I$ im Sinne von Bemerkung auf. Zeige, dass eine differenzierbare Kurve

$u\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

genau dann eine Lösung des Differentialgleichungssystems ist, wenn ${}u$ ein horizontaler Schnitt bezüglich des Zusammenhangs ist.

Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen