Differenzierbare Mannigfaltigkeit/R/Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Christoffelsymbole/Definition

Christoffelsymbole

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem linearen Zusammenhang $\mathrm{\nabla }$ versehen sei. Dann nennt man zu jedem offenen Kartengebiet  $U\subseteq X$  mit Koordinaten $x_i$ (und den zugehörigen Ableitungsfeldern ${\partial }_i$) und auf dem $E$ trivialisiert mit Basisschnitten $s_j$, die durch die Gleichungen

${\mathrm{\nabla }}_{{\partial }_i}{s}_j=\sum _{k=1}^r{\Gamma }_{ij}^k{s}_k$

definierten Funktionen

${\Gamma }_{ij}^k:U⟶ℝ$

die lokalen Christoffelsymbole des Zusammenhangs bezüglich der Trivialisierungen.