Offenes Intervall/Lineare Differentialgleichung/System/Linearer Zusammenhang/Aufgabe/Lösung

Die Abbildung

$u\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

wird bezüglich der Basischnitte ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$ durch

${}u=u_{1}e_{1}+\cdots +u_{n}e_{n}\,$

beschrieben. Die vertikale Ableitung des Zusammenhangs dieses Schnittes in Richtung der einzigen Ableitungsrichtung ${}\partial$ ist nach Fakt gleich

${}\sum _{k=1}^{n}{\left(\partial u_{k}+\sum _{j=1}^{n}u_{j}\Gamma _{j}^{k}\right)}e_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\left(u_{k}'+\sum _{j=1}^{n}u_{j}\Gamma _{j}^{k}\right)}e_{k}\,.$

Dabei ist ${}u$ nach Fakt genau dann ein horizontaler Schnitt, wenn die vertikale Ableitung gleich ${}0$ ist, und dies bedeutet für die einzelnen Komponenten, dass

${}u_{k}'+\sum _{j=1}^{n}\Gamma _{j}^{k}u_{j}=0\,$

für alle ${}k$ gelten muss. Dies ist äquivalent zu

${}u_{k}'=\sum _{j=1}^{n}a_{kj}u_{j}\,$

für alle ${}k$, was gerade bedeutet, dass ${}u$ das Matrixsystem

${}u'={\left(a_{kj}\right)}u\,$

erfüllt, also eine Lösung des linearen Differentialgleichungssystems ist.

Zur gelösten Aufgabe