Orientierung auf Mannigfaltigkeit/Einführung/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Definition  

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Karte

mit und offen heißt orientiert, wenn der orientiert ist.

Wenn man einen Atlas aus orientierten Karten hat, so haben die Orientierungen auf den umgebenden Zahlenräumen , in denen die offenen Bilder der Karten liegen, erstmal nichts miteinander zu tun (obwohl man stets schreibt). Ein Zusammenhang zwischen den Orientierungen wird erst durch die beiden folgenden Begriffe formulierbar.


Definition  

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und es seien und orientierte Karten. Dann heißt der zugehörige Kartenwechsel

orientierungstreu, wenn für jeden Punkt das totale Differential

orientierungstreu ist.


Definition  

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einem Atlas heißt orientiert, wenn jede Karte orientiert ist und wenn sämtliche Kartenwechsel orientierungstreu sind.