Orientierung auf Mannigfaltigkeit/Orientierbarkeit/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Karte

$\alpha :U⟶V$

mit  $U\subseteq M$  und  $V\subseteq {ℝ}^n$  offen heißt orientiert, wenn der ${ℝ}^n$ orientiert ist.

Wenn man einen Atlas aus orientierten Karten $(U_i,V_i,{\alpha }_i)$ hat, so haben die Orientierungen auf den umgebenden Zahlenräumen ${ℝ}^n$, in denen die offenen Bilder $V_i$ der Karten liegen, erstmal nichts miteinander zu tun (obwohl man stets ${ℝ}^n$ schreibt). Ein Zusammenhang zwischen den Orientierungen wird erst durch die beiden folgenden Begriffe formulierbar.

Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und es seien $(U_1,V_1,{\alpha }_1)$ und $(U_2,V_2,{\alpha }_2)$ orientierte Karten. Dann heißt der zugehörige Kartenwechsel

$\psi ={\alpha }_2\circ {\alpha }_1^{-1}:{\alpha }_1(U_1\cap U_2)⟶{\alpha }_2(U_1\cap U_2)$

orientierungstreu, wenn für jeden Punkt  $Q\in {\alpha }_1(U_1\cap U_2)$  das totale Differential

${\left(D\psi \right)}_Q:{ℝ}^n⟶{ℝ}^n$

orientierungstreu ist.

Definition

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit $M$ mit einem Atlas $(U_i,V_i,{\alpha }_i)$ heißt orientiert, wenn jede Karte orientiert ist und wenn sämtliche Kartenwechsel orientierungstreu sind.

Das Möbius-Band ist das typische Beispiel einer nicht orientierbaren Mannigfaltigkeit. Damit es eine Mannigfaltigkeit ist, darf der Rand nicht dazu gehören; dann ist es aber auch keine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des ${ℝ}^3$, diese sind nämlich stets orientierbar.

Bei einer orientierten Mannigfaltigkeit besitzt jeder Tangentialraum $T_{P}M$ eine Orientierung. Man kann einfach eine beliebige Kartenumgebung  $P\in U$  (aus dem orientierten Atlas) wählen und die Orientierung auf

$V\subseteq {ℝ}^n$

mittels $T_P({\alpha }^{-1})$ nach $T_{P}M$ transportieren. Wegen der Orientierungstreue der Kartenwechsel ist diese Orientierung unabhängig von der gewählten Kartenumgebung.

In einer orientierten Mannigfaltigkeit kann man auch zu zwei Basen in den Tangentialräumen zu zwei verschiedenen Punkten sagen, ob sie die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht. Dies ist der Fall, wenn beide Basen die Orientierung der Mannigfaltigkeit repräsentieren oder aber beide nicht.

Eine Mannigfaltigkeit heißt orientierbar, wenn sie diffeomorph zu einer orientierten Mannigfaltigkeit ist. D.h. wenn es einen Atlas gibt, der die gleiche differenzierbare Struktur definiert und der zusätzlich orientiert werden kann.