Parameterabhängiges Integral/Maßraum und offene Teilmenge/Partielle Differenzierbarkeit/Fakt

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum, ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und

$f\colon U\times M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion,

die die folgenden Eigenschaften erfülle.

1. Für jedes ${}z\in U$ ist die Funktion

   $M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(z,x),$

   integrierbar.

2. Für jedes ${}x\in M$ ist die Funktion

   $U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto f(z,x),$

   stetig differenzierbar.

3. Es gibt eine nichtnegative integrierbare Funktion

   $h\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

   mit

   ${}\Vert {{\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}(z,x)}\Vert \leq h(x)\,$

   für alle ${}z\in U$, alle ${}x\in M$ und alle ${}i=1,\ldots ,n$.

Dann ist die Funktion

$\varphi \colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto \varphi (z)=\int _{M}f(z,x)\,d\mu (x),$

stetig differenzierbar und es gilt für jedes ${}i=1,\ldots ,n$ die Formel

${}{\frac {\partial \varphi }{\partial z_{i}}}(z)=\int _{M}{\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}(z,x)\,d\mu (x)\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen