Differenzierbare Abhängigkeit des Integrals
Es sei
ein
-endlicher
Maßraum,
ein nichtleeres
offenes Intervall
und
-
eine
Funktion,
die die folgenden Eigenschaften erfülle.
- Für alle
ist die Funktion
integrierbar.
- Für alle
ist die Funktion
(stetig)
differenzierbar.
- Es gibt eine
nichtnegative
messbare integrierbare Funktion
-
mit
-
![{\displaystyle {}\vert {f'(t,x)}\vert \leq h(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4916e67025ae87ad3ed5d4a64fbc5a8a3065105f)
für alle
und alle
.
Dann ist die Funktion
-
(stetig)
differenzierbar
in
, die Zuordnung
ist
integrierbar
und es gilt die Formel
-
![{\displaystyle {}\varphi '(t)=\int _{M}f'(t,x)\,d\mu (x)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fe999cc2fb35728f476f620da69645e08245805)