Parameterabhängiges Integral/Maßraum und reelles Intervall/Differenzierbarkeit/Fakt

Differenzierbare Abhängigkeit des Integrals

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum, ${}I$ ein nichtleeres offenes Intervall und

$f\colon I\times M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x)\longmapsto f(t,x),$

eine Funktion,

die die folgenden Eigenschaften erfülle.

1. Für alle  ${}t\in I$  ist die Funktion ${}x\mapsto f(t,x)$ integrierbar.
2. Für alle  ${}x\in M$  ist die Funktion ${}t\mapsto f(t,x)$ (stetig) differenzierbar.
3. Es gibt eine nichtnegative messbare integrierbare Funktion

   $h\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

   mit

   ${}\vert {f'(t,x)}\vert \leq h(x)\,$

   für alle  ${}t\in I$  und alle  ${}x\in M$. 

Dann ist die Funktion

$\varphi \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \varphi (t)=\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x),$

(stetig) differenzierbar in ${}t$, die Zuordnung ${}x\mapsto f'(t,x)$ ist integrierbar und es gilt die Formel

${}\varphi '(t)=\int _{M}f'(t,x)\,d\mu (x)\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen