Parameterabhängiges Integral/Maßraum und reelles Intervall/Differenzierbarkeit/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

Der Differenzenquotient für in einem Punkt und ist

Wir müssen für jede Folge in mit , die gegen konvergiert, zeigen, dass die zugehörige Folge der Differenzenquotienten konvergiert. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es (für jedes und jedes ) ein mit

Da integrierbar ist, ist auch für jedes der Differenzenquotient als Funktion in nach Fakt integrierbar. Dann ist unter Verwendung der Linearität des Integrals und des Satzes von der majorisierten Konvergenz

Die stetige Differenzierbarkeit folgt aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage