Beweis
Der
Differenzenquotient
für
in einem Punkt
und
ist
-
![{\displaystyle {}{\frac {\varphi (s)-\varphi (t)}{s-t}}={\frac {\int _{M}f(s,x)\,d\mu (x)-\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x)}{s-t}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1424b96f664b445116d8609ccb2774ee940f66cf)
Wir müssen für jede Folge
in
mit
,
die gegen
konvergiert,
zeigen, dass die zugehörige Folge der Differenzenquotienten konvergiert. Nach
dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung
gibt es
(für jedes
und jedes
)
ein
mit
-
![{\displaystyle {}\vert {\frac {f(s_{n},x)-f(t,x)}{s_{n}-t}}\vert =\vert {f'(c,x)}\vert \leq h(x)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87b23574f858b7cd1c04edd81f674e45bed8bdae)
Da
integrierbar ist, ist auch für jedes
der Differenzenquotient als Funktion in
nach
Fakt
integrierbar. Dann ist unter Verwendung
der Linearität des Integrals
und
des Satzes von der majorisierten Konvergenz
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi '(t)&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\varphi (s_{n})-\varphi (t)}{s_{n}-t}}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\int _{M}f(s_{n},x)\,d\mu (x)-\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x)}{s_{n}-t}}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}{\frac {f(s_{n},x)-f(t,x)}{s_{n}-t}}\,d\mu (x)\\&=\int _{M}{\left(\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(s_{n},x)-f(t,x)}{s_{n}-t}}\right)}\,d\mu (x)\\&=\int _{M}f'(t,x)\,d\mu (x).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b1b7da1d7e7690698e8826a4fe0391e1aceec0c)
Die stetige Differenzierbarkeit folgt aus
Fakt.