Beweis
Der
Differenzenquotient
für
in einem Punkt
und
ist
-

Wir müssen für jede Folge
in
mit
,
die gegen
konvergiert,
zeigen, dass die zugehörige Folge der Differenzenquotienten konvergiert. Nach
dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung
gibt es
(für jedes
und jedes
)
ein
mit
-

Da
integrierbar ist, ist auch für jedes
der Differenzenquotient als Funktion in
nach
Fakt
integrierbar. Dann ist unter Verwendung
der Linearität des Integrals
und
des Satzes von der majorisierten Konvergenz

Die stetige Differenzierbarkeit folgt aus
Fakt.