Parameterabhängiges Integral/Maßraum und reelles Intervall/Differenzierbarkeit/Fakt/Beweis

Beweis

Der Differenzenquotient für ${}\varphi$ in einem Punkt ${}t\in I$ und ${}s\neq t$ ist

${}{\frac {\varphi (s)-\varphi (t)}{s-t}}={\frac {\int _{M}f(s,x)\,d\mu (x)-\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x)}{s-t}}\,.$

Wir müssen für jede Folge ${}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}I$ mit ${}s_{n}\neq t$, die gegen ${}t$ konvergiert, zeigen, dass die zugehörige Folge der Differenzenquotienten konvergiert. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es (für jedes ${}x\in M$ und jedes ${}n$) ein ${}c\in I$ mit

${}\vert {\frac {f(s_{n},x)-f(t,x)}{s_{n}-t}}\vert =\vert {f'(c,x)}\vert \leq h(x)\,.$

Da ${}h$ integrierbar ist, ist auch für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ der Differenzenquotient als Funktion in ${}x$ nach Fakt integrierbar. Dann ist unter Verwendung der Linearität des Integrals und des Satzes von der majorisierten Konvergenz

${}{\begin{aligned}\varphi '(t)&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\varphi (s_{n})-\varphi (t)}{s_{n}-t}}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\int _{M}f(s_{n},x)\,d\mu (x)-\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x)}{s_{n}-t}}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}{\frac {f(s_{n},x)-f(t,x)}{s_{n}-t}}\,d\mu (x)\\&=\int _{M}{\left(\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(s_{n},x)-f(t,x)}{s_{n}-t}}\right)}\,d\mu (x)\\&=\int _{M}f'(t,x)\,d\mu (x).\end{aligned}}$

Die stetige Differenzierbarkeit folgt aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage