Partialbruchzerlegung/Q/1 durch X^p-1/Aufgabe/Lösung

Es ist

{}X^{p}-1=(X-1)(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1)\,

und der zweite Faktor ist irreduzibel nach Fakt. Nach Fakt muss es daher eine Darstellung der Form

{}{\frac {1}{X^{p}-1}}={\frac {a}{X-1}}+{\frac {b_{p-2}X^{p-2}+b_{p-3}X^{p-3}+\cdots +b_{2}X^{2}+b_{1}X+b_{0}}{X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1}}\,

geben. Multiplikation mit dem Hauptnenner führt auf

{}{\begin{aligned}1&=a{\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}+(X-1){\left(b_{p-2}X^{p-2}+b_{p-3}X^{p-3}+\cdots +b_{2}X^{2}+b_{1}X+b_{0}\right)}\\&=(a+b_{p-2})X^{p-1}+(a+b_{p-3}-b_{p-2})X^{p-2}+(a+b_{p-4}-b_{p-3})X^{p-3}+\cdots +(a+b_{1}-b_{2})X^{2}+(a+b_{0}-b_{1})X+(a-b_{0}).\end{aligned}}

Also ist

{}a+b_{p-2}=0\,,

für jedes ${}i=2,\ldots ,p-1$ ist (der Koeffizient zu ${}X^{p-i}$ )

{}a+b_{p-i-1}-b_{p-i}=0\,

und

{}a-b_{0}=0\,.

Durch Addition der ersten ${}i$ Bedingungen erhält man

{}ia+b_{p-1-i}=0\,

für ${}i=1,\ldots ,p-1$ . Aus

{}(p-1)a+b_{0}=0\,

und

{}a-b_{0}=1\,

ergibt sich

{}a={\frac {1}{p}}\,

und daraus

{}b_{p-i-1}=-{\frac {i}{p}}\,.

Die Partialbruchzerlegung ist demnach

{}{\frac {1}{X^{p}-1}}={\frac {\frac {1}{p}}{X-1}}+{\frac {-{\frac {1}{p}}X^{p-2}-{\frac {2}{p}}X^{p-3}-\cdots -{\frac {p-3}{p}}X^{2}-{\frac {p-2}{p}}X-{\frac {p-1}{p}}}{X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1}}\,.