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Partitionen/Stirling-Zahlen zweiter Art/Summendarstellungen/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir verwenden durchgehend Fakt, das besagt, dass gleich der Anzahl der surjektiven Abbildungen einer -elementigen Menge in eine -elementige Menge ist.

  1. Dies folgt aus Fakt.
  2. Nach Fakt ist die Anzahl der surjektiven Abbildungen einer -elementigen Menge in eine -elementige Menge gleich

    Wenn man diesen Ausdruck durch dividiert, und überall ersetzt, so erhält man die Behauptung.

  3. Dies ergibt sich aus Teil (2). Zu einem Tupel der Indexmenge aus Teil (3) definiert man

    für . Umgekehrt definiert man zu einem Tupel der Indexmenge aus Teil (2) die Zahlen

    für zwischen ausschließlich und einschließlich . Diese Zuordnungen sind invers zueinander und die aufzusummierenden Produkte stimmen überein.

  4. Dies folgt aus Fakt.