Peano-Halbring/Ordnungseigenschaften/Fakt/Beweis

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Beweis

Die Reflexivität folgt direkt aus Axiom  (3). Die Transitivität ergibt sich unmittelbar, da ja und bedeutet, dass es mit und mit gibt, woraus sich

also ergibt. Zum Beweis der Antisymmetrie sei und , also und mit gewissen . Dann gilt auch

Aus der Abziehregel folgt

Wären nicht beide , so würde nach Fakt beispielsweise gelten und damit

ein Widerspruch zu Axiom  (1). Dass das kleinste Element ist, folgt direkt aus Axiom  (3). Die Verträglichkeit mit der Addition ergibt sich direkt, die mit der Multiplikation folgt aus dem Distributivgesetz. Bei ist nach der Vorgängereigenschaft und daher . Zum Nachweis der totalen Ordnung seien gegeben. Wir beweisen die Eigenschaft, dass zu festem für alle die Eigenschaft gilt, durch Induktion über . Bei ist dies klar. Sei die Aussage nun für ein bewiesen. Bei gilt erst recht . Sei also , wobei wir uns direkt auf beschränken können. Dies bedeutet und und somit . Also ist .