Peano-Halbring/Ordnungseigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Die Reflexivität folgt direkt aus Axiom  (3). Die Transitivität ergibt sich unmittelbar, da ja  ${}x\geq y$  und  ${}y\geq z$  bedeutet, dass es  ${}u,v\in M$  mit ${}x=y+u$ und mit ${}y=z+v$ gibt, woraus sich

${}x=z+v+u\,,$

also  ${}x\geq z$  ergibt. Zum Beweis der Antisymmetrie sei  ${}x\geq y$  und  ${}y\geq x$,  also ${}x=y+u$ und ${}y=x+v$ mit gewissen  ${}u,v\in M$.  Dann gilt auch

${}x=x+u+v\,.$

Aus der Abziehregel folgt

${}0=u+v\,.$

Wären ${}u,v$ nicht beide ${}0$, so würde nach Fakt beispielsweise  ${}u=t+1$  gelten und damit

${}0=(t+v)+1\,,$

ein Widerspruch zu Axiom  (1). Dass ${}0$ das kleinste Element ist, folgt direkt aus Axiom  (3). Die Verträglichkeit mit der Addition ergibt sich direkt, die mit der Multiplikation folgt aus dem Distributivgesetz. Bei  ${}x\neq 0$  ist  ${}x=t+1$  nach der Vorgängereigenschaft und daher  ${}x\geq 1$.  Zum Nachweis der totalen Ordnung seien  ${}x,y\in M$  gegeben. Wir beweisen die Eigenschaft, dass zu festem ${}x$ für alle ${}y$ die Eigenschaft ${}(x\geq y)\vee (y\geq x)$ gilt, durch Induktion über ${}y$. Bei  ${}y=0$  ist dies klar. Es sei die Aussage nun für ein ${}y$ bewiesen. Bei  ${}y\geq x$  gilt erst recht  ${}y+1\geq x$.  Es sei also  ${}x\geq y$,  wobei wir uns direkt auf  ${}x>y$  beschränken können. Dies bedeutet  ${}x=y+u$  und  ${}u\neq 0$  und somit  ${}u\geq 1$.  Also ist  ${}x\geq y+1$. 

Zur bewiesenen Aussage