Peanoaxiome/Prädikatenlogik/Zweitstufig und erststufig/Textabschnitt

Axiom

Eine Menge ${}N$ mit einem ausgezeichneten Element ${}0\in N$ (die Null) und einer (Nachfolger)-Abbildung

$'\colon N\longrightarrow N,\,n\longmapsto n',$

heißt natürliche Zahlen (oder Dedekind-Peano-Modell für die natürlichen Zahlen), wenn die folgenden Dedekind-Peano-Axiome erfüllt sind.

1. Das Element ${}0$ ist kein Nachfolger (die Null liegt also nicht im Bild der Nachfolgerabbildung).
2. Jedes ${}n\in N$ ist Nachfolger höchstens eines Elementes (d.h. die Nachfolgerabbildung ist injektiv).
3. Für jede Teilmenge ${}T\subseteq N$ gilt: Wenn die beiden Eigenschaften
   • ${}0\in T$,
   • mit jedem Element
   ${}n\in T$ ist auch ${}n'\in T$,

gelten, so ist ${}T=N$.

Mit zweitstufig ist gemeint, dass nicht nur über die Elemente der Menge ${}\mathbb {N}$, die man axiomatisch charakterisieren will, quantifiziert wird, sondern auch über beliebige Teilmengen dieser Menge. Mit dieser Axiomatik lassen sich ausgehend von der Nachfolgerfunktion die Addition und die Multiplikation rekursiv einführen, und es lässt sich zeigen, dass je zwei Modelle für diese zweistufigen Peano-Axiome „isomorph“ sind, dass es also zwischen ihnen eine strukturerhaltende Bijektion gibt. Das im Wesentlichen eindeutig bestimmte Modell für diese Arithmetik bezeichnen wir mit ${}\mathbb {N}$.

Wir betrachten zwei erststufige Varianten. Dabei wird die Nachfolgerfunktion beibehalten und das Induktionsaxiom, das oben für beliebige Teilmengen formuliert war, wird durch ein Induktionsaxiom für die in der Sprache formulierbaren Ausdrücke ersetzt. Das Induktionsaxiom gilt somit lediglich für Teilmengen, die in der gegebenen Sprache charakterisierbar sind.

Axiom

Die Peano-Axiome für die Nachfolgerfunktion in der ersten Stufe werden (in der Sprache ${}L$ zur Symbolmenge mit einer Konstanten ${}0$ und einem einstelligen Funktionssymbol ${}N$) folgendermaßen definiert.

1. ${}\forall x(\neg (Nx=0))$.
2. ${}\forall x\forall y((Nx=Ny)\rightarrow (x=y))$.
3. Für jeden Ausdruck ${}\alpha$ von ${}L$ mit einer freien Variablen ${}x$ gilt

   $\alpha {\frac {0}{x}}\wedge \forall x{\left(\alpha \rightarrow \alpha {\frac {Nx}{x}}\right)}\rightarrow \forall x\alpha .$

Aus der obigen zweitstufigen Formulierung der Axiomatik, die nur die Nachfolgerabbildung verwendet, kann man in jedem Modell in eindeutiger Weise eine Addition und eine Multiplikation definieren. Dafür ist das obige erststufige Axiomensystem zu schwach. Stattdessen werden wir unter der Peano-Arithmetik das folgende Axiomensystem verstehen, das mit zwei Konstanten ${}0$ und ${}1$ und zwei zweistelligen Operationen ${}+$ und ${}\cdot$ auskommt. Die Nachfolgerfunktion ist dann durch ${}Nx=x+1$ definiert und es braucht dafür kein eigenes Funktionssymbol.

Axiom

Die Peano-Axiome für Addition und Multiplikation in der ersten Stufe werden (in der Sprache ${}L^{\rm {Ar}}$ zur Symbolmenge mit den beiden Konstanten ${}0$ und ${}1$ und zwei zweistelligen Funktionssymbolen ${}+$ und ${}\cdot$) folgendermaßen definiert.

1. ${}\forall x(\neg (x+1=0))$.
2. ${}\forall x\forall y((x+1=y+1)\rightarrow (x=y))$.
3. ${}\forall x(x+0=x)$.
4. ${}\forall x\forall y(x+(y+1)=(x+y)+1))$.
5. ${}\forall x(x\cdot 0=0)$.
6. ${}\forall x\forall y(x\cdot (y+1)=(x\cdot y)+x)$.
7. Für jeden Ausdruck ${}\alpha$ von ${}L^{Ar}$ mit einer freien Variablen ${}x$ gilt

   $\alpha {\frac {0}{x}}\wedge \forall x{\left(\alpha \rightarrow \alpha {\frac {x+1}{x}}\right)}\rightarrow \forall x\alpha .$

Die Axiome ${}(1),(2)$ und ${}(7)$ entsprechen dabei direkt den Nachfolgeraxiomen von oben. Die Axiome ${}(3)$ und ${}(4)$ spiegeln die Grundregeln in der zweistufigen Peano-Arithmetik für die rekursive Definition der Addition wider, und die Axiome ${}(5)$ und ${}(6)$ entsprechen den Grundregeln für die rekursive Definition der Multiplikation. Bekanntlich gelten diese Axiome für die natürlichen Zahlen. Anders als bei der obigen zweitstufigen Axiomatik gibt es aber von ${}\mathbb {N}$ verschiedene Modelle (nicht Standard-Arithmetiken), die die erststufige Peano-Arithmetik erfüllen. Dies ist aber kein „zufälliges“ Defizit der gewählten Axiomatik, sondern dahinter verbirgt sich eine grundsätzliche Schwäche der Sprache erster Stufe, die durch die Gödelschen Unvollständigkeitssätze präzisiert werden wird.