Polynom/Betrag nimmt Minimum an/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

${}P(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}\,$

(mit ${}a_{n}\neq 0$). Wir setzen  ${}a:={\max {\left(\vert {a_{i}}\vert ,i=0,\ldots ,n-1\right)}}$  und  ${}r:={\max {\left({\frac {na+\vert {a_{0}}\vert +1}{\vert {a_{n}}\vert }},1\right)}}$.  Bei  ${}n=0$  ist die Aussage klar, sei also  ${}n\geq 1$.  Für ${}z$ mit  ${}\vert {z}\vert \geq r$  gelten die Abschätzungen

${}{\begin{aligned}\vert {P(z)}\vert &\geq \vert {a_{n}z^{n}}\vert -\vert {\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}z^{i}}\vert \\&\geq \vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}\vert {a_{i}}\vert \vert {z}\vert ^{i}\\&\geq \vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}a\vert {z}\vert ^{n-1}\\&\geq \vert {z}\vert ^{n-1}(\vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert -na)\\&\geq \vert {a_{0}}\vert +1\\&>\vert {a_{0}}\vert .\end{aligned}}$

Auf der kompakten Menge ${}B(0,r)$ nimmt die stetige Funktion ${}z\mapsto \vert {P(z)}\vert$ nach Fakt ihr Minimum an, d.h. es gibt ein  ${}w\in B(0,r)$  mit  ${}\vert {P(z)}\vert \geq \vert {P(w)}\vert$  für alle  ${}z\in B(0,r)$.  Wegen  ${}\vert {a_{0}}\vert =\vert {P(0)}\vert \geq \vert {P(w)}\vert$  und der Überlegung für ${}z$ mit  ${}\vert {z}\vert \geq r$  ergibt sich, dass im Punkt ${}w$ überhaupt das Minimum der Funktion angenommen wird.

Zur bewiesenen Aussage