Polynom/Betrag nimmt Minimum an/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

P (z) = a_{n} z^{n} + a_{n - 1} z^{n - 1} + \dots + a_{1} z + a_{0}

(mit $a_{n} \neq 0$ ). Wir setzen $a := max (| a_{i} |, i = 0, \dots, n - 1)$ und $r := max (\frac{n a + | a_{0} | + 1}{| a_{n} |}, 1)$ . Bei $n = 0$ ist die Aussage klar, sei also $n \geq 1$ . Für $z$ mit $| z | \geq r$ gelten die Abschätzungen

\begin{matrix} | P (z) | & \geq | a_{n} z^{n} | - | \sum_{i = 0}^{n - 1} a_{i} z^{i} | \\ \geq | a_{n} | | z |^{n} - \sum_{i = 0}^{n - 1} | a_{i} | | z |^{i} \\ \geq | a_{n} | | z |^{n} - \sum_{i = 0}^{n - 1} a | z |^{n - 1} \\ \geq | z |^{n - 1} (| a_{n} | | z | - n a) \\ \geq | a_{0} | + 1 \\ > | a_{0} | . \end{matrix}

Auf der kompakten Menge $B (0, r)$ nimmt die stetige Funktion $z \mapsto | P (z) |$ nach Fakt ihr Minimum an, d.h. es gibt ein $w \in B (0, r)$ mit $| P (z) | \geq | P (w) |$ für alle $z \in B (0, r)$ . Wegen $| a_{0} | = | P (0) | \geq | P (w) |$ und der Überlegung für $z$ mit $| z | \geq r$ ergibt sich, dass im Punkt $w$ überhaupt das Minimum der Funktion angenommen wird.

Zur bewiesenen Aussage