Polynom/Betrag nimmt Minimum an/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

${}P(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}\,$

(mit $a_{n}\neq 0$). Wir setzen ${}a:={\max {\left(\vert {a_{i}}\vert ,i=0,\ldots ,n-1\right)}}$ und ${}r:={\max {\left({\frac {na+\vert {a_{0}}\vert +1}{\vert {a_{n}}\vert }},1\right)}}$. Bei ${}n=0$ ist die Aussage klar, sei also ${}n\geq 1$. Für ${}z$ mit ${}\vert {z}\vert \geq r$ gelten die Abschätzungen

${}{\begin{aligned}\vert {P(z)}\vert &\geq \vert {a_{n}z^{n}}\vert -\vert {\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}z^{i}}\vert \\&\geq \vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}\vert {a_{i}}\vert \vert {z}\vert ^{i}\\&\geq \vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}a\vert {z}\vert ^{n-1}\\&\geq \vert {z}\vert ^{n-1}(\vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert -na)\\&\geq \vert {a_{0}}\vert +1\\&>\vert {a_{0}}\vert .\end{aligned}}$

Auf der kompakten Menge ${}B(0,r)$ nimmt die stetige Funktion ${}z\mapsto \vert {P(z)}\vert$ nach Fakt ihr Minimum an, d.h. es gibt ein ${}w\in B(0,r)$ mit ${}\vert {P(z)}\vert \geq \vert {P(w)}\vert$ für alle ${}z\in B(0,r)$. Wegen ${}\vert {a_{0}}\vert =\vert {P(0)}\vert \geq \vert {P(w)}\vert$ und der Überlegung für ${}z$ mit

${}\vert {z}\vert \geq r\,$

ergibt sich, dass im Punkt ${}w$ überhaupt das Minimum der Funktion angenommen wird.

Zur bewiesenen Aussage