Beweis
Es sei
-
![{\displaystyle {}P(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86ab48677bcd55b0393b05ea9d4e3f42207f17ba)
(mit
).
Wir setzen
und
. Bei
ist die Aussage klar, sei also
.
Für
mit
gelten die Abschätzungen
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\vert {P(z)}\vert &\geq \vert {a_{n}z^{n}}\vert -\vert {\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}z^{i}}\vert \\&\geq \vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}\vert {a_{i}}\vert \vert {z}\vert ^{i}\\&\geq \vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}a\vert {z}\vert ^{n-1}\\&\geq \vert {z}\vert ^{n-1}(\vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert -na)\\&\geq \vert {a_{0}}\vert +1\\&>\vert {a_{0}}\vert .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96b6e2157eb945e19a427ebda3daa7833ee572dc)
Auf der
kompakten Menge
nimmt die
stetige Funktion
nach
Fakt
ihr Minimum an, d.h. es gibt ein
mit
für alle
.
Wegen
und der Überlegung für
mit
ergibt sich, dass im Punkt
überhaupt das Minimum der Funktion angenommen wird.