Polynom/K/Interpolation/Textabschnitt

Eine stückweise lineare und

eine polynomiale Interpolation.

Der folgende Satz heißt Interpolationssatz und beschreibt die Interpolation von vorgegebenen Funktionswerten durch Polynome. Wenn ein Funktionswert an einer Stelle vorgegeben wird, so legt dies ein konstantes Polynom fest, zwei Funktionswerte an zwei Stellen legen ein lineares Polynom fest (eine Gerade), drei Funktionswerte an drei Stellen legen ein quadratisches Polynom fest, u.s.w.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben.

Dann gibt es ein eindeutiges Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}\leq n-1$ derart, dass ${}P{\left(a_{i}\right)}=b_{i}$ für alle ${}i$ ist.

Beweis

Wir beweisen die Existenz und betrachten zuerst die Situation, wo ${}b_{j}=0$ ist für alle ${}j\neq i$ für ein festes ${}i$. Dann ist

$(X-a_{1})\cdots (X-a_{i-1})(X-a_{i+1})\cdots (X-a_{n})$

ein Polynom vom Grad ${}n-1$, das an den Stellen ${}a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}$ den Wert ${}0$ hat. Das Polynom

${\frac {b_{i}}{(a_{i}-a_{1})\cdots (a_{i}-a_{i-1})(a_{i}-a_{i+1})\cdots (a_{i}-a_{n})}}(X-a_{1})\cdots (X-a_{i-1})(X-a_{i+1})\cdots (X-a_{n})$

hat an diesen Stellen ebenfalls eine Nullstelle, zusätzlich aber noch bei ${}a_{i}$ den Wert ${}b_{i}$. Nennen wir dieses Polynom ${}P_{i}$. Dann ist

${}P=P_{1}+P_{2}+\cdots +P_{n}\,$

das gesuchte Polynom. An der Stelle ${}a_{i}$ gilt ja

${}P_{j}(a_{i})=0\,$

für ${}j\neq i$ und ${}P_{i}(a_{i})=b_{i}$.

Die Eindeutigkeit folgt aus Fakt.

$\Box$

Bemerkung  

Wenn die Daten ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ und ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ gegeben sind, so findet man das interpolierende Polynom ${}P$ vom Grad ${}\leq n-1$, das es nach Fakt geben muss, folgendermaßen: Man macht den Ansatz

${}P=c_{0}+c_{1}X+c_{2}X^{2}+\cdots +c_{n-2}X^{n-2}+c_{n-1}X^{n-1}\,$

und versucht die unbekannten Koeffizienten ${}c_{0},\ldots ,c_{n-1}$ zu bestimmen. Jeder Interpolationspunkt ${}(a_{i},b_{i})$ führt zu einer linearen Gleichung

${}c_{0}+c_{1}a_{i}+c_{2}a_{i}^{2}+\cdots +c_{n-2}a_{i}^{n-2}+c_{n-1}a_{i}^{n-1}=b_{i}\,$

über ${}K$. Das entstehende lineare Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung ${}(c_{0},\ldots ,c_{n-1})$, die das Polynom festlegt.