Polynom/K/Produkt von linearen Polynomen und nullstellenfrei/Fakt/Beweis/Aufgabe

Sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige, dass jedes Polynom ${}P\in K[X],\,P\neq 0,$ eine Produktzerlegung

$P=(X-\lambda _{1})^{\mu _{1}}\cdots (X-\lambda _{k})^{\mu _{k}}\cdot Q$

mit ${}\mu _{j}\geq 1$ und einem nullstellenfreien Polynom ${}Q$ besitzt, wobei die auftretenden verschiedenen Zahlen ${}\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}$ und die zugehörigen Exponenten ${}\mu _{1},\ldots ,\mu _{k}$ bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind.

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