Polynom ohne mehrfache Nullstelle/C/Quadratwurzel/Riemannsche Fläche/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist ${}V$ die Nullstellenmenge der polynomialen Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(z,w)\longmapsto f(z)-w^{2}.$

Die Jacobi-Matrix von ${}\varphi$ ist ${}\left(f'(z),\,2w\right)$. Sei ${}(z,w)\in V$. Bei ${}f'(z)=0$ ist ${}f(z)\neq 0$ und damit ist ${}w\neq 0$. Die Jacobi-Matrix ist also auf ganz ${}V$ regulär und damit zeigt der Satz über implizite Abbildungen, dass ${}V$ eine komplexe Mannigfaltigkeit ist.

Zur bewiesenen Aussage