Polynom ohne mehrfache Nullstelle/C/Quadratwurzel/Riemannsche Fläche/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist $V$ die Nullstellenmenge der polynomialen Abbildung

$\phi :{ℂ}^2⟶ℂ,(z,w)⟼f(z)-w^2.$

Die Jacobi-Matrix von $\phi$ ist $(f^{\prime }(z),2w)$. Sei  $(z,w)\in V$.  Bei  $f^{\prime }(z)=0$  ist  $f(z)\ne 0$  und damit ist  $w\ne 0$.  Die Jacobi-Matrix ist also auf ganz $V$ regulär und damit zeigt der Satz über implizite Abbildungen, dass $V$ eine komplexe Mannigfaltigkeit ist.

Zur bewiesenen Aussage