Polynome/n/Nullstellenmengen/Kurzeinführung/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Definition  

Zu einer Variablenmenge und einem -Tupel nennt man einen Ausdruck der Form ein Monom in den .

Der Grad eines Monoms ist die Summe der Exponenten, also gleich .


Definition  

Unter einem Polynom in den Variablen über einem Körper versteht man eine endliche Linearkombination von Monomen

mit .

Der Grad eines Polynoms ist das Maximum der Grade der beteiligten Monome (also derjenigen Monome, die mit einem von verschiedenen Koeffizienten wirklich vorkommen). Ein Polynom in Variablen über definiert durch Einsetzen eine Funktion

Dies sind wichtige Funktionen in der höherdimensionalen Analysis. Die Variable in diesem Sinne interpretiert repräsentiert einfach die -te Projektion, und die Addition und die Multiplikation von Polynomen entspricht dann der Addition und der Multiplikation von Funktionen, bei der die Werte in addiert bzw. multipliziert werden.


Definition  

Zu einem Körper und einer Variablenmenge besteht der Polynomring

aus allen Polynomen in diesen Variablen, wobei diese Menge durch die komponentenweise Addition und die Multiplikation, die sich durch die distributive Fortsetzung der Regel

ergibt, zu einem kommutativen Ring gemacht wird.


Definition  

Es sei ein Körper und sei ein Polynom in Variablen. Dann nennt man

das Nullstellengebilde (oder Nullstellenmenge) zu .

Das Nullstellengebilde zu ist also einfach die Faser zu der durch gegebenen Funktion

Bei ist dies einfach eine endliche Ansammlung von einzelnen Punkten, den Nullstellen von , (bei handelt es sich um ganz ), bei entstehen aber zunehmend interessantere und kompliziertere geometrische Gebilde. Das Studium dieser Gebilde heißt algebraische Geometrie. Bei spricht man von algebraischen Kurven.

Bei beliebigem hat ein Polynom vom Grad die Gestalt

und das zugehörige Nullstellengebilde ist einfach die Lösungsmenge der inhomogenen linearen Gleichung

also ein affin-linearer Raum.