Polynomfunktion/Funktionsverlauf aus Differenzierbarkeit/Fakt/Beweis
Beweis
Die Ableitung ist ein Polynom vom Grad . Dieses besitzt nach Fakt höchstens Nullstellen. Nach Fakt besitzt daher höchstens lokale Extrema. Zwischen zwei benachbarten Nullstellen der Ableitung und auch unterhalb der kleinsten und oberhalb der größten Nullstelle ist die Ableitung entweder echt positiv oder echt negativ. Wenn wir stets benachbarte Intervalle zusammenlegen, auf denen die Ableitung jeweils positiv oder jeweils negativ ist, so erhalten wir eine Zerlegung von in Intervalle, auf denen die Ableitung positiv oder negativ mit eventuell endlich vielen Ausnahmepunkten ist, und positiv und negativ wechseln sich ab. In diesen Intervallen ist dann nach Fakt streng wachsend oder streng fallend.
