Polynomring/1/K/Verschwindungsordnung/Schnittmultiplizität/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}0$ und sei ${}f\in K[X]$, ${}f\neq 0$, und ${}a\in K$. Es sei ${}C=V(Y-f)$ der Graph zu ${}f$, aufgefasst als ebene algebraische Kurve. Zeige, dass die folgenden „Ordnungen“ von ${}f$ an der Stelle ${}a$ übereinstimmen.

1. Die Verschwindungsordnung von ${}f$ an der Stelle ${}a$, also die maximale Ordnung einer formalen Ableitung mit ${}f^{(k)}(a)=0$.
2. Der Exponent des Linearfaktors ${}X-a$ in der Zerlegung von ${}f$.
3. Die Ordnung von ${}f$ an der Lokalisierung ${}K[X]_{(X-a)}$ von ${}K[X]$ am maximalen Ideal ${}(X-a)$.
4. Die Schnittmultiplizität von ${}C$ mit der ${}x$-Achse im Punkt ${}(a,0)$.

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