Polynomring/2/Körper/Lokalisierung/Ungleichlange Ketten/Beispiel

Wir betrachten den Polynomring ${}K[X,Y]$ über einem Körper ${}K$ mit dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(X,Y)$ und dem Primideal ${}{\mathfrak {p}}=(X-1)$, das nicht in ${}{\mathfrak {m}}$ liegt. Wir betrachten das multiplikative System

${}S={\left\{f\in K[X,Y]\mid f\notin {\mathfrak {m}}{\text{ und }}f\notin {\mathfrak {p}}\right\}}=K[X,Y]\setminus {\mathfrak {m}}\cap K[X,Y]\setminus {\mathfrak {p}}\,.$

In der Nenneraufnahme ${}R=K[X,Y]_{S}$ sind die Primideale ${}{\mathfrak {m}}R$ und ${}{\mathfrak {p}}R$ die einzigen maximalen Ideale, das eine hat die Höhe ${}2$ und das andere die Höhe ${}1$. Die Aussage Fakt gilt also nicht für integre Algebren, die im Wesentlichen vom endlichen Typ sind.