Polynomring/2/Multiplizität/Multiplikation/Aufgabe

Es sei $F = F_{m} + \dots + F_{d}$ die homogene Zerlegung eines Polynoms $F \in K [X, Y]$ mit $m \leq d$ und es sei $𝔪 = (X, Y)$ . Zeige, dass für jedes $n \geq m$ die Multiplikationsabbildung

K [X, Y] ⟶ K [X, Y], G ⟼ F G,

einen injektiven, wohldefinierten $K [X, Y]$ -Modulhomomorphismus

K [X, Y] / 𝔪^{n - m} ⟶ K [X, Y] / 𝔪^{n}

festlegt.

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