Polynomring/2/Multiplizität/Multiplikation/Aufgabe/Lösung

Es ist $F \in 𝔪^{m}$ . Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei $G \in K [X, Y]$ mit $G \in 𝔪^{n - m}$ . Dann ist $F G \in 𝔪^{m} \cdot 𝔪^{n - m} = 𝔪^{n}$ . Also gehört $𝔪^{n - m}$ zum Kern der Gesamtabbildung

K [X, Y] \overset{\cdot F}{⟶} K [X, Y] ⟶ K [X, Y] / 𝔪^{n} .

Nach dem Satz vom induzierten Homomorphismus gibt es somit einen $K [X, Y]$ -Modulhomomorphismus

K [X, Y] / 𝔪^{n - m} ⟶ K [X, Y] / 𝔪^{n} .

Zum Nachweis der Injektivität sei $G \in K [X, Y]$ mit $F G = 0$ in $K [X, Y] / 𝔪^{n}$ , also $F G \in 𝔪^{n}$ . Wäre $G \notin 𝔪^{n - m}$ , so würde in $G$ ein Monom $X^{i} Y^{j}$ vom Grad $i + j < n - m$ (mit einem von $0$ verschiedenen Koeffizienten)

vorkommen. Doch dann kämen in

F G = F_{m} G + \dots + F_{d} G

Monome vom Grad

< m

vor, und somit wäre

F G \notin 𝔪^{n}

.

Zur gelösten Aufgabe