Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Verzweigung/Ordnung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Zu einem injektiven Ringhomomorphismus ${}R\subseteq S$ zwischen diskreten Bewertungsringen nennt man die Ordnung einer Ortsuniformisierenden von ${}R$ in ${}S$ die Verzweigungsindex der Erweiterung.

Statt Verzweigungsordnung sagt man auch Verzweigungsindex. Bei einer Erweiterung von Dedekindbereichen

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

und Primidealen ${}{\mathfrak {q}}$ über ${}{\mathfrak {p}}$ nennt man die Verzweigungsordnung von

$R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow S_{\mathfrak {q}}$

auch die Verzweigungsordnung von ${}{\mathfrak {q}}$ über ${}{\mathfrak {p}}$ oder einfach von ${}{\mathfrak {q}}$, da ja ${}{\mathfrak {p}}$ durch ${}{\mathfrak {q}}$ bestimmt ist. Wenn man von ${}{\mathfrak {p}}$ ausgeht, hängt im Allgemeinen die Verzweigungsordnung von den darüber liegenden Primidealen ab.

Definition

Ein injektiver Ringhomomorphismus ${}R\subseteq S$ zwischen diskreten Bewertungsringen heißt verzweigt, wenn seine Verzweigungsordnung ${}\geq 2$ ist.

Bei einer Erweiterung von Dedekindbereichen ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ sagt man auch, dass ein Primideal ${}{\mathfrak {q}}$ aus ${}S$ verzweigt, wenn

$R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow S_{\mathfrak {q}}$

mit ${}{\mathfrak {p}}=R\cap {\mathfrak {q}}$ verzweigt, und man sagt, dass ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ von ${}R$ in ${}S$ verzweigt, wenn es darüber ein Primideal ${}{\mathfrak {q}}$ gibt, in dem Verzweigung stattfindet (es darf also auch noch Primideale darüber geben, in denen keine Verzweigung stattfindet).

Lemma

Es sei ${}R\subseteq S$ eine endliche Erweiterung von Dedekindbereichen und es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal von ${}R$. Es sei

${}{\mathfrak {p}}S={\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}\,$

die Idealzerlegung des Erweiterungsideales ${}{\mathfrak {p}}S$ im Sinne von Fakt.

Dann ist ${}r_{j}$ die Verzweigungsordnung von

$R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow S_{{\mathfrak {q}}_{j}}.$

Insbesondere findet über ${}{\mathfrak {p}}$ genau dann Verzweigung statt, wenn ein ${}r_{j}\geq 2$ ist.

Beweis

Dies beruht darauf, dass ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}S_{{\mathfrak {q}}_{j}}$ die Ordnung ${}r_{j}$ besitzt, was auf Fakt  (1) beruht.

$\Box$

Beispiel

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Wir betrachten den Ringhomomorphismus

$\varphi \colon K[Y]\longrightarrow K[X],\,Y\longmapsto X^{n},$

zu ${}n\geq 2$, der der Abbildung

$K\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{n}=y$

entspricht. Zu einem maximalen Ideal ${}(X-a)$ ist

${}\varphi ^{-1}(X-a)=(Y-a^{n})\,,$

und oberhalb von ${}(Y-b)$ liegen die maximalen Ideale ${}(X-a)$ mit

${}a^{n}=b\,.$

Dies ist die idealtheoretische Interpretation der ${}n$-ten Potenzierung. Insbesondere liegen die Ringhomomomorphismen

$K[Y]_{(Y-b)}\longrightarrow K[X]_{(X-a)},\,Y\longmapsto X^{n}$

zwischen diskreten Bewertungsringen vor. Dabei wird die Ortsuniformisierende ${}(Y-b)$ auf

$X^{n}-b=X^{n}-a^{n}=(X-a)(X^{n-1}+X^{n-2}a^{1}+\cdots +Xa^{n-2}+a^{n-1})\,$

abgebildet. In dieser Produktdarstellung ist der linke Faktor die Ortsuniformisierende des zweiten Bewertungsringes. Der zweite Faktor wird, wenn man für ${}X$ die Zahl ${}a$ einsetzt, zu ${}na^{n-1}$. Wenn ${}n$ und ${}a$ beide Einheiten in ${}K$ sind, so ist dieser Faktor eine Einheit in ${}K[X]_{(X-a)}$ und daher ist die Verzweigungsordnung gleich ${}1$, es liegt also keine Verzweigung vor. Wenn hingegen ${}n$ keine Einheit ist, wenn also die Charakteristik von ${}K$ ein Teiler von ${}n$ ist, so liegt Verzweigung vor. Wenn ${}n=p$ die positive Charakteristik ist, so ist ${}X^{p}-a^{p}$ und die Verzweigungsordnung ist in jedem Punkt gleich ${}p$. Wenn ${}a=0$ ist, so ist die Verzweigungsordnung direkt gleich ${}n$ im Nullpunkt.