Polynomring/Eine Variable/Einsetzungshomomorphismus/Einführung/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Es sei ${}A$ ein weiterer kommutativer Ring und es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow A$ ein Ringhomomorphismus und ${}a\in A$ ein Element.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

$\psi \colon R[X]\longrightarrow A$

mit ${}\psi (X)=a$ und mit ${}\psi \circ i=\varphi$, wobei ${}i\colon R\rightarrow R[X]$ die kanonische Einbettung ist.

Dabei geht das Polynom ${}P=\sum _{j=0}^{n}c_{j}X^{j}$ auf ${}\sum _{j=0}^{n}\varphi (c_{j})a^{j}$.

Beweis

Bei einem Ringhomomorphismus

$\psi \colon R[X]\longrightarrow A$

mit ${}\psi \circ i=\varphi$. müssen die Konstanten ${}c\in R$ auf ${}\varphi (c)$ und ${}X$ auf ${}a$ gehen. Daher muss ${}X^{j}$ auf ${}a^{j}$ gehen. Da Summen respektiert werden, kann es nur einen Ringhomorphismus geben, der die im Zusatz angegebene Gestalt haben muss. Es ist also zu zeigen, dass durch diese Vorschrift wirklich ein Ringhomomorphismus definiert ist. Dies folgt aber direkt aus dem Distributivgesetz.

$\Box$

Den in diesem Satz konstruierten Ringhomomorphismus nennt man den Einsetzungshomomorphismus.

Korollar

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Es sei ${}r\in R$ ein Element.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

$\psi \colon R[X]\longrightarrow R$

mit ${}\psi (X)=r$ und mit ${}\psi \circ i=\varphi$, wobei ${}i\colon R\rightarrow R[X]$ die kanonische Einbettung ist.

Dabei geht das Polynom ${}P=\sum _{j=0}^{n}c_{j}X^{j}$ auf ${}\sum _{j=0}^{n}\varphi (c_{j})r^{j}$.

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Es sei ${}Y=aX+b$, wobei ${}a$ eine Einheit in ${}R$ sei.

Dann gibt es einen Ringisomorphismus

$R[X]\longrightarrow R[X],\,X\longmapsto aX+b.$

Beweis

Die Einsetzungshomomorphismen zu ${}X\mapsto aX+b$ und ${}X\mapsto a^{-1}X-a^{-1}b$ definieren aufgrund von Fakt jeweils einen Ringhomomorphismus ${}\psi$ und ${}\varphi$ von ${}R[X]$ nach ${}R[X]$, die wir hintereinander schalten:

$R[X]{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}R[X]{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}R[X].$

Bei diesem Ringhomomorphismus bleiben die Elemente aus ${}R$ unverändert, und die Variable ${}X$ wird insgesamt auf

${}a(a^{-1}X-a^{-1}b)+b=aa^{-1}X-aa^{-1}b+b=X\,$

geschickt. Daher muss die Verknüpfung aufgrund der Eindeutigkeit in Fakt die Identität sein. Dies gilt auch für die Hintereinanderschaltung in umgekehrter Reihenfolge, sodass ein Isomorphismus vorliegt.

$\Box$