Polynomring/Eine Variable/Kommutativer Ring/Einführung/Textabschnitt

Zu einem kommutativen Ausgangsring wie ${}\mathbb {Z}$ oder ${}\mathbb {R}$ und einer fixierten Variablen ${}X$ kann man sich fragen, welche Terme man mit dieser Variablen über diesem Ring „basteln“ kann. Dazu gehören

$5,\,3X+3,\,3(X+1),\,(2X-6)(4X+3),\,X\cdot (X\cdot X),\,5+3X-6X^{2}+7X^{3},\,X^{2}-4+5X^{2}+7X-13X,$

wobei wir Potenzschreibweise verwendet und einige Klammern weggelassen haben. Als Terme sind ${}3X+3$ und ${}3(X+1)$ verschieden. Bei jeder Interpretation von ${}X$ in einem Ring sind diese Ausdrücke aber gleich. Der Polynomring besteht aus genau diesen Termen, wobei allerdings Terme miteinander identifiziert werden, wenn dies in jedem kommutativen Ring gilt (die Menge aller Terme ist kein Ring)!

Definition

Der Polynomring über einem kommutativen Ring ${}R$ besteht aus allen Polynomen

$P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}$

mit ${}a_{i}\in R,\,i=0,\ldots ,n,\,n\in \mathbb {N}$,

und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

${}X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,$

definiert ist.

Ein Polynom

${}P=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$

ist formal gesehen nichts anderes als das Tupel ${}(a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n})$, die die Koeffizienten des Polynoms heißen. Der Ring ${}R$ heißt in diesem Zusammenhang der Grundring des Polynomrings. Aufgrund der komponentenweisen Definition der Addition liegt unmittelbar eine Gruppe vor, mit dem Nullpolynom (bei dem alle Koeffizienten null sind) als neutralem Element. Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn sie in allen ihren Koeffizienten übereinstimmen. Die Polynome mit ${}a_{i}=0$ für alle ${}i\geq 1$ heißen konstante Polynome, man schreibt sie einfach als ${}a_{0}$. Ein von ${}0$ verschiedenes Polynom kann man als ${}\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$ mit ${}a_{n}\neq 0$ schreiben. Der Koeffizient ${}a_{n}$ heißt dann der Leitkoeffizient des Polynoms.

Die für ein einfaches Tupel zunächst ungewöhnliche Schreibweise deutet in suggestiver Weise an, wie die Multiplikation aussehen soll, das Produkt ${}X^{i}X^{j}$ ist nämlich durch die Addition der Exponenten gegeben. Dabei nennt man ${}X$ die Variable des Polynomrings. Für beliebige Polynome ergibt sich die Multiplikation aus dieser einfachen Multiplikationsbedingung durch distributive Fortsetzung gemäß der Vorschrift, „alles mit allem“ zu multiplizieren. Die Multiplikation ist also explizit durch folgende Regel gegeben:

${\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}\right)}=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}{\text{ mit }}c_{k}=\sum _{r=0}^{k}a_{r}b_{k-r}.$

Beispielsweise ist

${}{\begin{aligned}{\left({\mathrm {i} }X^{2}+(3-{\mathrm {i} })X+5\right)}{\left(-X^{2}+4X+2{\mathrm {i} }\right)}&=-{\mathrm {i} }X^{4}+(4{\mathrm {i} }-(3-{\mathrm {i} }))X^{3}+(2{\mathrm {i} }{\mathrm {i} }+(3-{\mathrm {i} })4-5)X^{2}+((3-{\mathrm {i} })2{\mathrm {i} }+20)X+10{\mathrm {i} }\\&=-{\mathrm {i} }X^{4}+(-3+5{\mathrm {i} })X^{3}+(5-4{\mathrm {i} })X^{2}+(22+6{\mathrm {i} })X+10{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. ${}R$ ist ein Unterring von ${}R[X]$.
2. ${}R$ ist genau dann ein Integritätsbereich, wenn ${}R[X]$ ein Integritätsbereich ist.

Beweis

1. Ein Element ${}r\in R$ wird als konstantes Polynom aufgefasst, wobei es egal ist, ob man Addition und Multiplikation in ${}R$ oder in ${}R[X]$ ausführt.
2. Wenn ${}R[X]$ integer ist, so überträgt sich dies sofort auf den Unterring ${}R$. Es sei also ${}R$ ein Integritätsbereich und seien ${}P=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$ und ${}Q=\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}$ zwei von null verschiedene Polynome. Wir können annehmen, dass ${}a_{n}$ und ${}b_{m}$ von null verschieden sind. Dann ist ${}a_{n}b_{m}\neq 0$ und dies ist der Leitkoeffizient des Produktes ${}PQ$, das damit nicht null sein kann.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}S\subseteq R$ ein Unterring.

Dann ist auch ${}S[X]$ ein Unterring von ${}R[X]$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Die vorstehende Aussage bedeutet einfach, dass man ein Polynom mit Koeffizienten aus ${}S$ direkt auch als Polynom mit Koeffizienten aus ${}R$ auffassen kann. So ist ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten insbesondere auch ein Polynom mit rationalen Koeffizienten und mit reellen Koeffizienten. Die Addition und die Multiplikation von zwei Polynomen hängt nicht davon ab, ob man sie über einem kleineren oder einem größeren Grundring ausrechnet, so lange dieser nur alle beteiligten Koeffizienten enthält. Es gibt aber auch viele wichtige Eigenschaften, die vom Grundring abhängen, wie beispielsweise die Eigenschaft, irreduzibel zu sein, siehe Beispiel.

In ein Polynom ${}P\in R[X]$ kann man ein Element ${}r\in R$ einsetzen. Dabei ersetzt man überall die Variable ${}X$ durch ${}r$ und rechnet das Ergebnis in ${}R$ aus. Dieses Ergebnis wird mit ${}P(r)$ bezeichnet. Ein fixiertes Element ${}r\in R$ definiert dann eine Abbildung (die Auswertungsabbildung zu ${}r$)

$R[X]\longrightarrow R,\,P\longmapsto P(r).$

Andererseits definiert ein fixiertes Polynom ${}P\in R[X]$ die zugehörige Polynomfunktion, die durch

$R\longrightarrow R,\,x\longmapsto P(x).$

Diese wird insbesondere bei einem Körper ${}R=K$ studiert.