Polynomring/Endomorphismus/Einsetzung/Ringhomomorphismus (ohne Begriff)/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und

$f\colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Dann erfüllt die Abbildung

$K[X]\longrightarrow \operatorname {End} _{}{\left(V\right)},\,P\longmapsto P(f),$

die folgenden Eigenschaften.

1. Für konstante Polynome ${}P=a_{0}$ ist

   ${}P(f)=a_{0}(f)=a_{0}f^{0}=a_{0}\operatorname {Id} _{V}\,.$

   Insbesondere wird das Nullpolynom auf die Nullabbildung und das konstante ${}1$-Polynom auf die Identität abgebildet.

2. Es ist

   ${}(P+Q)(f)=P(f)+Q(f)=Q(f)+P(f)\,$

   für alle Polynome ${}P,Q\in K[X]$.

3. Es ist

   ${}(P\cdot Q)(f)=P(f)\circ Q(f)=Q(f)\circ P(f)\,$

   für alle Polynome ${}P,Q\in K[X]$.

4. Es ist

   ${}(X^{n})(f)=f^{n}\,$

   für alle ${}n\in \mathbb {N}$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen