Polynomring/Grad bis d/Evaluationen/Linearkombination/Aufgabe/Lösung

a) Für Polynome ${}P,Q\in K[X]_{\leq d}$ und Skalare ${}r,s\in K$ und ${}z\in K$ ist

${}{\begin{aligned}\operatorname {Ev} _{z}(rP+sQ)&=(rP+sQ)(z)\\&=rP(z)+sQ(z)\\&=r\operatorname {Ev} _{z}(P)+s\operatorname {Ev} _{z}(Q),\end{aligned}}$

was die Linearität bedeutet.

b) Wir betrachten die Familie von Polynomen vom Grad ${}d$, die durch

${}P_{j}=(X-z_{1})\cdots (X-z_{j-1})(X-z_{j+1})\cdots (X-z_{d+1})\,$

gegeben ist. Die Evaluationen ${}\operatorname {Ev} _{z_{i}}$ haben an diesen Polynomen den Wert

${}\operatorname {Ev} _{z_{i}}(P_{j})=P_{j}(z_{i})={\begin{cases}0,{\text{ falls }}i\neq j\,,\\\prod _{k\neq i}(z_{i}-z_{k})\neq 0,{\text{ falls }}i=j\,.\end{cases}}\,$

Mit Fakt folgt, dass die gegebenen ${}d+1$ Auswertungen linear unabhängig sind. Da der Raum ${}K[X]_{\leq d}$ die Dimension ${}d+1$ besitzt und der Dualraum nach Fakt ebenfalls diese Dimension hat, bilden die Auswertungen nach Fakt eine Basis des Dualraumes.

c) Wir betrachten die Nullform auf ${}K[X]_{\leq 1}$. Zu jedem Punkt ${}w\in K$

gibt es ein lineares Polynom, beispielsweise ${}X-w+1$, das an der Stelle ${}w$ nicht den Wert ${}0$ besitzt. Daher kann die Nullform nicht die Auswertung an einem Punkt sein.

Zur gelösten Aufgabe