Polynomring/Grad bis d/Evaluationen/Linearkombination/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]_{\leq d}$ der ${}K$-Vektorraum aller Polynome vom Grad ${}\leq d$. Zu ${}z\in K$ bezeichne ${}\operatorname {Ev} _{z}$ die Auswertung an ${}z$, also die Abbildung

$\operatorname {Ev} _{z}\colon K[X]_{\leq d}\longrightarrow K,\,P\longmapsto P(z).$

a) Zeige, dass ${}\operatorname {Ev} _{z}$ linear ist.

b) Es seien ${}d+1$ Punkte ${}z_{1},z_{2},\ldots ,z_{d+1}\in K$ gegeben. Zeige, dass ${}\operatorname {Ev} _{z_{1}},\ldots ,\operatorname {Ev} _{z_{d+1}}$ eine Basis des Dualraumes ${}{\left(K[X]_{\leq d}\right)}^{*}$ ist.

c) Zeige, dass nicht jede Linearform auf ${}K[X]_{\leq d}$ eine Auswertung an einem Punkt ${}w\in K$ ist.

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