Polynomring/Kählermodul und Derivation/Beschreibung/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und  $A=R[X_1,\dots ,X_n]$  der Polynomring in $n$ Variablen über $R$.

Dann ist der Modul der Kähler-Differentiale der freie $A$-Modul zur Basis

$d{X}_1,d{X}_2,\dots ,d{X}_n.$

Die universelle Derivation ist bezüglich dieser Basis durch

$A⟶Ad{X}_1\oplus \cdots \oplus Ad{X}_n,F⟼dF=\frac{\partial F}{\partial X_1}d{X}_1+\cdots +\frac{\partial F}{\partial X_n}d{X}_n,$

gegeben.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen