Polynomring/Kählermodul und Derivation/Beschreibung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}G$ der von den Symbolen ${}dX_{i}$ erzeugte freie ${}A$-Modul. Die Abbildung

$\varphi \colon G\longrightarrow \Omega _{A{|}R},$

die das Basiselement ${}dX_{i}$ auf das Differential ${}dX_{i}$ schickt, ist nach Fakt  (3) surjektiv. Die ${}i$-te partielle Ableitung

${\frac {\partial }{\partial X_{i}}}\colon A\longrightarrow A,\,F\longmapsto {\frac {\partial F}{\partial X_{i}}},$

ist eine ${}R$-Derivation, so dass es aufgrund der universellen Eigenschaft des Moduls der Differentialformen eine ${}A$-lineare Abbildung

$p_{i}\colon \Omega _{A{|}R}\longrightarrow A$

mit ${}p_{i}\circ d={\frac {\partial }{\partial X_{i}}}$ gibt. Dabei ist ${}p_{i}(dX_{i})=1$ und ${}p_{i}(dX_{j})=0$ für ${}j\neq i$. Diese Abbildungen ergeben zusammen eine ${}A$-lineare Abbildung

$p=p_{1}\times \cdots \times p_{n}\colon \Omega _{A{|}R}\longrightarrow A^{n}\cong G,$

für die ${}p\circ \varphi =\operatorname {Id} _{G}$ gilt. Daher ist ${}\varphi$ auch injektiv.

Zur bewiesenen Aussage