Polynomring/Kählermodul und Derivation/Beschreibung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $G$ der von den Symbolen $d{X}_i$ erzeugte freie $A$-Modul. Die Abbildung

$\phi :G⟶{\mathrm{\Omega }}_{A/R},$

die das Basiselement $d{X}_i$ auf das Differential $d{X}_i$ schickt, ist nach Fakt  (3) surjektiv. Die $i$-te partielle Ableitung

$\frac{\partial }{\partial X_i}:A⟶A,F⟼\frac{\partial F}{\partial X_i},$

ist eine $R$-Derivation, sodass es aufgrund der universellen Eigenschaft des Moduls der Differentialformen eine $A$-lineare Abbildung

$p_i:{\mathrm{\Omega }}_{A/R}⟶A$

mit  $p_i\circ d=\frac{\partial }{\partial X_i}$  gibt. Dabei ist  $p_i(d{X}_i)=1$  und  $p_i(d{X}_j)=0$  für  $j\ne i$.  Diese Abbildungen ergeben zusammen eine $A$-lineare Abbildung

$p=p_1\times \cdots \times p_n:{\mathrm{\Omega }}_{A/R}⟶A^n\cong G,$

für die  $p\circ \phi ={\mathrm{Id}}_G$  gilt. Daher ist $\phi$ auch injektiv.

Zur bewiesenen Aussage