Polynomring/K/Hilbertfunktion/Beispiel

Es sei  $R=K[X_1,\dots ,X_m]$  der Polynomring in $m$ Variablen über einem Körper $K$. Dann gibt es nach Aufgabe genau $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m-1}{m-1})$ Monome vom Grad $n$. Dies ist somit die $K$-Vektorraumdimension der $n$-ten Stufe des standard-graduierten Polynomringes. Die Hilbertfunktion des graduierten $R$-Moduls $R$ ist also

$\begin{array}{cc}{H}_R(n)& =(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m-1}{m-1})\\ & =\frac{(n+m-1)\cdots (n+1)}{(m-1)!}\\ & =\frac{1}{(m-1)!}{n}^{m-1}+\frac{m}{2(m-2)!}{n}^{m-2}+\text{ kleinere Terme}.\end{array}$

Insbesondere ist die Hilbertfunktion ein Polynom mit Koeffizienten aus $\mathbb{Q}$, das aber an jeder natürlichen Stelle eine natürliche Zahl als Wert besitzt.