Wir betrachten den
Čechkomplex
mit der feinen durch die Monome gegebenen
-Graduierung. Zu einem fixierten Tupel
-

sei
die Menge der Indizes mit negativem Eintrag. Zu diesem
ist
-

Die Identifikation in der Mitte beruht darauf, dass die Komponente zu
bei
gleich
ist und bei
gleich
. Das Monom
in dieser Nenneraufnahme entspricht
. Bei der Identifikation rechts entspricht
dem Basiselement
.
Der Komplex zum Index
entspricht also einem
aufsteigenden Binomialkomplex
zur Indexmenge
zum Ring
(statt
),
allerdings ohne einen freien Summanden links für die leere Menge.
Bei
und zumindest einem negativen Exponenten steht rechts höchstens ein isoliertes
. Dies wird aber
(
)
nicht auf
abgebildet und somit hat dies keinen Beitrag zu
. Wenn hingegen alle Exponenten nichtnegativ sind, so sind die Elemente gleich
-
und dieses wird genau dann auf
abgebildet, wenn die Koeffizienten
übereinstimmen. Daher ist die nullte Čechkohomologie gleich dem Polynomring
-

Sei
.
Bei
ist die Situation isomorph zu einem aufsteigenden Binomialkomplex zu einer nichtleeren Indexmenge und daher ist die Homologie trivial nach
Fakt.
Daher ist die Homologie überhaupt trivial für alle
zwischen
und
.
Es sei also
und
.
Dies sind die
mit ausschließlich negativen Exponenten. Der Komplex
(entspricht dem leeren aufsteigenden Binomialkomplex)
ist
-
und daher ist
-
