Polynomring/n/Cech-Kohomologie/Berechnung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten den Čechkomplex mit der feinen durch die Monome gegebenen ${}\mathbb {Z} ^{n}$-Graduierung. Zu einem fixierten Tupel

${}\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {Z} ^{n}\,$

sei ${}N=N_{\alpha }\subseteq \{1,\ldots ,n\}$ die Menge der Indizes mit negativem Eintrag. Zu diesem ${}\alpha$ ist

${\left({\check {C}}^{p}({D(X_{i})},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {A} }_{}^{n}})\right)}_{\alpha }={\left(\prod _{1\leq i_{0}<i_{1}<\cdots <i_{p}\leq n}A_{X_{i_{0}}X_{i_{1}}\cdots X_{i_{p}}}\right)}_{\alpha }=\prod _{N\subseteq L,\,{\#\left(L\right)}=p+1}R\cdot e_{L}\cong \prod _{J\subseteq \{1,\ldots ,n\}\setminus N,\,{\#\left(J\right)}=p+1-{\#\left(N\right)}}R\cdot e_{J}\,.$

Die Identifikation in der Mitte beruht darauf, dass die Komponente zu ${}A_{\prod _{i\in L}X_{i}}$ bei ${}N\not \subseteq L$ gleich ${}0$ ist und bei ${}N\subseteq L$ gleich ${}R\cdot X^{\alpha }$. Das Monom ${}X^{\alpha }$ in dieser Nenneraufnahme entspricht ${}e_{L}$. Bei der Identifikation rechts entspricht ${}e_{J}$ dem Basiselement ${}e_{L}=e_{N\cup J}$. Der Komplex zum Index ${}\alpha$ entspricht also einem aufsteigenden Binomialkomplex zur Indexmenge ${}\{1,\ldots ,n\}\setminus N$ zum Ring ${}R$ (statt ${}\mathbb {Z}$), allerdings ohne einen freien Summanden links für die leere Menge.

Bei ${}p=0$ und zumindest einem negativen Exponenten steht rechts höchstens ein isoliertes ${}R\cdot X^{\alpha }$. Dies wird aber (${}n\geq 2$) nicht auf ${}0$ abgebildet und somit hat dies keinen Beitrag zu ${}H^{0}$. Wenn hingegen alle Exponenten nichtnegativ sind, so sind die Elemente gleich

$(c_{1}X^{\alpha },\ldots ,c_{n}X^{\alpha }),$

und dieses wird genau dann auf ${}0$ abgebildet, wenn die Koeffizienten ${}c_{i}\in R$ übereinstimmen. Daher ist die nullte Čechkohomologie gleich dem Polynomring

${}A=\bigoplus _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}R\cdot X^{\alpha }\,.$

Sei ${}p\geq 1$. Bei ${}N\neq {\{1,\ldots ,n\}}$ ist die Situation isomorph zu einem aufsteigenden Binomialkomplex zu einer nichtleeren Indexmenge und daher ist die Homologie trivial nach Fakt. Daher ist die Homologie überhaupt trivial für alle ${}p$ zwischen ${}1$ und ${}n-2$. Sei also ${}p=n-1$ und ${}N={\{1,\ldots ,n\}}$. Dies sind die ${}\alpha$ mit ausschließlich negativen Exponenten. Der Komplex (entspricht dem leeren aufsteigenden Binomialkomplex) ist

$0\longrightarrow R\cdot X^{\alpha }\longrightarrow 0$

und daher ist

${}H^{n-1}=\bigoplus _{\alpha \in \mathbb {Z} _{-}^{n}}R\cdot X^{\alpha }\,.$

Zur bewiesenen Aussage