Polynomring/n/Cech-Kohomologie/Berechnung/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir betrachten den Čechkomplex mit der feinen durch die Monome gegebenen -Graduierung. Zu einem fixierten Tupel

sei die Menge der Indizes mit negativem Eintrag. Zu diesem ist

Die Identifikation in der Mitte beruht darauf, dass die Komponente zu bei gleich ist und bei gleich . Das Monom in dieser Nenneraufnahme entspricht . Bei der Identifikation rechts entspricht dem Basiselement . Der Komplex zum Index entspricht also einem aufsteigenden Binomialkomplex zur Indexmenge zum Ring (statt ), allerdings ohne einen freien Summanden links für die leere Menge.

Bei und zumindest einem negativen Exponenten steht rechts höchstens ein isoliertes . Dies wird aber () nicht auf abgebildet und somit hat dies keinen Beitrag zu . Wenn hingegen alle Exponenten nichtnegativ sind, so sind die Elemente gleich

und dieses wird genau dann auf abgebildet, wenn die Koeffizienten übereinstimmen. Daher ist die nullte Čechkohomologie gleich dem Polynomring

Sei . Bei ist die Situation isomorph zu einem aufsteigenden Binomialkomplex zu einer nichtleeren Indexmenge und daher ist die Homologie trivial nach Fakt. Daher ist die Homologie überhaupt trivial für alle zwischen und . Sei also und . Dies sind die mit ausschließlich negativen Exponenten. Der Komplex (entspricht dem leeren aufsteigenden Binomialkomplex) ist

und daher ist