Polynomringe/Tensorprodukt/Beispiel

Zu einem kommutativen Ring $R$ und den Polynomringen  $A=R[X_1,\dots ,X_m]$  und  $B=R[Y_1,\dots ,Y_n]$  ist

$A{\otimes }_{R}B=R[X_1,\dots ,X_m,Y_1,\dots ,Y_n].$

Die Vorgabe $X_i\mapsto X_i\otimes 1$ und $Y_j\mapsto 1\otimes Y_j$ definiert den Einsetzungshomomorphismus

$R[X_1,\dots ,X_m,Y_1,\dots ,Y_n]⟶A{\otimes }_{R}B.$

Die Zuordnung

$A\times B⟶R[X_1,\dots ,X_m,Y_1,\dots ,Y_n],(a,b)⟼a\cdot b,$

ist $R$-bilinear und definiert nach Fakt  (2) einen $R$-Modulhomomorphismus

$A{\otimes }_{R}B⟶R[X_1,\dots ,X_m,Y_1,\dots ,Y_n].$

Beide Abbildungen sind invers zueinander.